$\exists x Px \land \exists x Qx$ no implica $\exists x (P x \land Q x)$

Question

Esto me confunde bastante. Sabemos que $\phi : = \exists x Px \land \exists x Qx $ no implica $\psi : = \exists x (P x \land Q x)$ , en cuanto al modelo $M$ con dominio $\{0,1\}$ con $P := \{0\}$ y $Q := \{1\}$ , tenemos que $M \models \phi$ , $M \not \models \psi$ . Pero, aparentemente:

\begin{eqnarray} \exists x Px \land \exists x Qx \implies & \lnot ( \lnot ( \exists x Px \land \exists x Qx))\\ \implies & \lnot ( \lnot \exists x Px \lor \lnot \exists x Qx)\\ \implies & \lnot (\forall x \lnot Px \lor \forall x \lnot Qx))\\ \implies & \lnot (\forall x (\lnot Px \lor \lnot Qx ))\\ \implies & \exists x \lnot ( \lnot P x \lor \lnot Q x) \\ \implies & \exists x (P x \land Q x) , \end{eqnarray}

donde $(3) \implies (4)$ por el esquema $\forall x A x \lor \forall x B x \implies \forall x (A x \lor B x)$ ; (2) $\implies (3), (4) \implies (5)$ por relaciones de cuantificación/negación; y $(1) \implies (2), (5) \implies (6)$ por las leyes de De Morgan. ¿Qué ha fallado aquí? ¡Gracias!

Answer 1

$$ \lnot (\forall x \lnot Px \lor \forall x \lnot Qx)) \Rightarrow \lnot (\forall x (\lnot Px \lor \lnot Qx ))\\$$

no es correcto.

Equivale a

$$ \varphi ~ =: ~\forall x \lnot Px \lor \forall x \lnot Qx \Leftarrow \forall x (\lnot Px \lor \lnot Qx ) ~ := \psi\\$$

Considere su ejemplo $\{P,Q\}$ -estructura $A$ sobre el universo $\{0,1\}$ con $P=\{0\}$ y $Q=\{1\}$ .

Ahora $A \models \psi$ pero $A \not \models \varphi$ .

Este es el esquema $\forall x A x \lor \forall x B x \Rightarrow \forall x (A x \lor B x)$ es correcto, pero usted lo ha utilizado al revés, lo que generalmente no es una implicación correcta.