$S\subseteq V \Rightarrow \text{span}(S)\cong S^{00}$

Question

Deje $S$ ser un subconjunto de un número finito de dimensiones de espacio vectorial $V$. Cómo mostrar que $$\text{span}(S)\cong S^{00}?$$ Aquí, $^0$ denota el annihilator. Es decir, $$S^0:=\{f\in V^*:f(s)=0,\forall s\in S\}$$ donde $V^*$ es el doble de espacio. Así $$S^{00}=\{F\in V^{**}:F(f)=0,\forall f\in S^0\}$$

Answer 1

En primer lugar observamos que si $S$ es un subconjunto de a$V$,$S^{00}=(\operatorname{span}(S))^{00}$, tan sólo tenemos que considerar el caso en que $S$ es un subespacio.

Para ver esta igualdad, se observa que desde $V$ es finito dimensional, la canónica de asignación de $\tau\colon V\to V^{**}$ es inyectiva, por lo tanto surjective. Así, cada elemento de a $V^{**}$ formulario $\bar{v}$$v\in V$. Así que tome $\bar{v}\in S^{00}$. Por lo tanto $\bar{v}(f)=f(v)=0$ todos los $f\in S^0$. Pero recordemos que tomar el annihilator es el fin de revertir, por lo que desde $S\subseteq\operatorname{span}(S)$, $\operatorname{span}(S)^0\subseteq S^0$. Así que para cualquier $g\in\operatorname{span}(S)^0$, $g\in S^0$ así. Por tanto, para cualquier $g$, $\bar{v}(g)=g(v)=0$. Por lo tanto $S^{00}\subseteq\operatorname{span}(S)^{00}$.

Por el contrario, tome $\bar{v}\in\operatorname{span}(S)^{00}$. Por lo $\bar{v}(f)=f(v)=0$ todos los $f\in\operatorname{span}(S)^0$. Pero $\operatorname{span}(S)$ es un subespacio, entonces, necesariamente,$v\in\operatorname{span}(S)$. Si no, existe un funcional lineal aniquilando $\operatorname{span}(S)$ pero no $v$, contrario al hecho de que $\bar{v}\in\operatorname{span}(S)^{00}$.

Para ser explícitos, si $v=0$, claramente $v\in\operatorname{span}(S)$. Así que supongamos $v\neq 0$, pero $v\not\in\operatorname{span}(S)$. Deje $\{s_1,\dots,s_k\}$ ser una base para $\operatorname{span}(S)$. A continuación, $\{s_1,\dots,s_k,v\}$ es linealmente independiente. Para supongamos que existe una combinación lineal no trivial tal que $$ c_1s_1+\cdots+c_ks_k+cv=0. $$ Necesariamente $c\neq 0$, de lo contrario tendríamos una combinación lineal no trivial de $\{s_1,\dots,s_k\}$ igual a $0$. Pero, a continuación, $$ v=c^{-1}(-c_1s_1-\cdots-c_ks_k)\in\operatorname{span}(S) $$ una contradicción. Por lo $\{s_1,\dots,s_k,v\}$ es linealmente independiente. Ampliar a una base de $V$. A continuación, defina un funcional lineal envío de $v$$1$, y todos los otros vectores de la base a $0$. Este funcional, a continuación, aniquila $\operatorname{span}(S)$ pero no $v$. Por lo $v\in\operatorname{span}(S)$, por lo que escribir $v=\sum c_is_i$ algunos $s_i\in S$. Ahora tomar cualquier $g\in S^0$. Tenemos $$ \bar{v}(g)=g(v)=g\left(\sum c_is_i\right)=\sum c_ig(s_i)=0 $$ desde $g\in S^0$ aniquila a todos los $s_i$. Por lo tanto $\operatorname{span}(S)^{00}\subseteq S^{00}$.

Ahora vamos a $\tau$ ser la canónica mapa de $\tau(v)=\bar{v}$. Debemos mostrarles a $\tau\colon S\to S^{00}$ es un isomorfismo, y desde $\tau$ es un monomorphism, todo lo que necesitas hacer es mostrar $\tau(S)=S^{00}$. Tome $s\in S$, lo $\tau(s)=\bar{s}$ es tal que para todos los $f\in S^0$, $$ \bar{s}(f)=f(s)=0 $$ de dónde $\tau(s)=\bar{s}\in S^{00}$. Esto implica $\tau(S)\subseteq S^{00}$. También, si $\bar{v}\in S^{00}$, entonces para cualquier $f\in S^0$, se deduce que $$ f(v)=\bar{v}(f)=0 $$ y así, cada funcional lineal aniquilando $S$ también aniquila $v$. Recordar que si $v\not\in S$, entonces existe un funcional lineal $g\in V^*$ tal que $g(S)=\{0\}$ pero $g(v)\neq 0$. Por lo tanto $v\in S$, e $\bar{v}=\tau(v)\in\tau(S)$, lo $S^{00}\subseteq \tau(S)$, según se requiera.

Answer 2

$\DeclareMathOperator{\span}{Span}$Esto en realidad no requieren $V$ a un ser finito dimensionales. En primer lugar, $\span(S) \subset S^{00}$, ya que si $\alpha \in V^*$ se desvanece en todos los de $S$, también debe desaparecer en $\span(S)$.

Por el contrario, supongamos que $v \notin \span (S)$. Ahora, si $\mathcal{B}_0$ es cualquier base de $\span(S)$, $\mathcal{B}_0 \cup \{v\}$ es linealmente independiente. Para ampliar este conjunto a una base $\mathcal{B}$$V$. Ahora, definir un elemento $\alpha \in V^*$ como sigue:$w \in V$, expresar $w$ (exclusivamente) como una combinación lineal de elementos de la base $\mathcal{B}$. A continuación, $v$ aparece con cierta coeficiente (posiblemente $0$) en esta expresión. Deje $\alpha(w)$ ser este coeficiente. Uno puede comprobar que esto define un funcional lineal en $V$. Pero $\alpha(v) = 1$, e $\alpha(w) = 0$ cualquier $w \in \span(S)$. Por lo $\alpha \in S^0$$v \notin S^{00}$.