Tengo el siguiente conjunto de polinomios definidos por $$P_n(x) = \sum^n_{k = 0} \frac{n!}{k!} x^k, \quad x \geqslant 0.$$ Los primeros son \begin{align*} P_0 (x) &= 1\\ P_1 (x) &= 1+x\\ P_2 (x) &= 2 + 2x + x^2\\ P_3 (x) &= 6 + 6x + 3x^2 + x^3\\ P_4 (x) &= 24 + 24x + 12 x^2 + 4x^3 + x^4 \end{align*} Se puede observar fácilmente que $$P'_n (x) = n P_{n - 1} (x), \quad n \geqslant 1.$$ Me gustaría saber si estos polinomios son muy conocidos y, en caso afirmativo, si tienen algún nombre especial.
En caso negativo, ¿es posible hallar una o varias relaciones de recurrencia, una fórmula de Rodrigues y una función generatriz para los polinomios?
Nota añadida : Sé que para los polinomios de Hermite $H_n (x)$ que $H'_n (x) = 2n H_{n - 1} (x)$ .
Segunda nota añadida : Basándome en el segundo enlace proporcionado por Lucian, aparte de su nombre, ahora tengo respuestas para las tres preguntas que hice.
Lo son:
Relación de recurrencia: $P_{n + 1}(x) = (x + n + 1) P_n (x) - nx P_{n - 1}(x), \quad n \geqslant 1$ .
La fórmula de Rodrigues: $P_n (x) = (-1)^n \displaystyle{\frac{x^{n + 1}}{{\rm e}^{-x}} \frac{d^n}{dx^n} \left (\frac{{\rm e}^{-x}}{x} \right )}$ .
Función generadora: $\displaystyle{\frac{{\rm e}^{xt}}{1 - t} = \sum^\infty_{n = 0} P_n (x) \frac{t^n}{n!}}$ .
