Sobre el primer teorema de Mertens

Question

El primer teorema de Mertens establece que $ \sum_{ p \le x } \frac{\log p}{p} = \log x + R $ con $| R | \le 2$ .

¿Es correcto que el límite $ \lim_{x \to \infty} \sum_{ p \le x } \frac{\log p}{p} - \log x $ ¿existe? Y si es así, ¿podría alguien ser tan amable de publicar un enlace donde pueda encontrar en línea una prueba de la existencia de este límite?

Gracias.

Answer 1

Podemos utilizar el teorema de los números primos de esta forma $$\theta\left(x\right)=\sum_{p\leq x}\log\left(p\right)=x+O\left(\frac{x}{\log^{2}\left(x\right)}\right) $$ para obtener por suma parcial $$\sum_{p\leq x}\frac{\log\left(p\right)}{p}=\frac{\theta\left(x\right)}{x}+\int_{2}^{x}\frac{\theta\left(t\right)}{t^{2}}dt=\log\left(x\right)+R+o\left(1\right) $$ entonces $$ \limsup_{x\rightarrow\infty}\left(\sum_{p\leq x}\frac{\log\left(p\right)}{p}-\log\left(x\right)\right)=\liminf_{x\rightarrow\infty}\left(\sum_{p\leq x}\frac{\log\left(p\right)}{p}-\log\left(x\right)\right)=R $$ y esto demuestra la existencia del límite.