¿Cuál es el radio y el centro de la imagen de $|z|=1$ bajo $f(z) = \frac{3z+2}{4z+3}$?

Question

Me gustaría calcular la imagen del círculo $|z|=1$ sobre la fracción de transformación lineal: $$f(z) = \frac{3z+2}{4z+3}$$ En particular, me gustaría calcular el nuevo centro y el radio.

La transformación de Möbius se pueden transformar en inversión así:

• $C_1= 4|z|^2+3\overline{z}-3z-2$
• $C_2 =|z|^2 - 1$

O se podría convertir en el segundo círculo en una fracción lineartrasnforation $g(z) = - \frac{1}{z}$. Entonces yo podría multiplicar los dos transformaciones: $$\left[ \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{array} \right]$$

y esto podría dar la vuelta en un círculo:

• $C_1C_2 = 3|z|^2 + 4 \overline{z} + 3z + 2$

He encontrado esta técnica en una un poco anticuado, la geometría de libros de texto a partir de la década de 1930 y todavía estoy averiguando su notación. Definitivamente me gusta la idea de que las transformaciones de Möbius y los Círculos pueden ser identificados.

Answer 1

Aquí es un procedimiento automático: en primer lugar invertir la relación $w=f(z)$, después de aplicar la condición de $|z|=1$ a la inversa de la fórmula $z=g(w)$ a deducir una ecuación de la imagen de conjunto.

En el presente caso, $w=f(z)$ significa que $$w=\frac{3z+2}{4z+3}$$ that is, $(4z+3)w=3z+2$, that is, $(4a-3)z=2-3w$, that is, $$z=\frac{2-3w}{4w-3}$$ Así, la imagen del círculo tiene por ecuación $$\left|\frac{2-3w}{4w-3}\right|=1$$ In turn, this means successively that $$|2-3w|=|4w-3|$$ that is, $$|2-3w|^2=|4w-3|^2$$ that is, $$4-6(w+\bar w)+9|w|^2=16|w|^2-12(w+\bar w)+9$$ that is, $$7|w|^2-6(w+\bar w)+5=0$$ and finally, if $w=x+iy$, $$7(x^2+y^2)-12x+5=0$$ from which you might be able to conclude that the desired radius is $$r=\frac17$$ Como se puede ver, el cambio a la descomposición de los números complejos en sus partes real e imaginaria tan tarde como sea posible en los cálculos, simplifica estas.

Edit: El comentario del usuario @alex.jordan siguiente muestra elocuentemente que "lo más tarde posible" justo por encima, incluso, podría ser sustituido por el de "nunca"...

Answer 2

Vamos a ver donde esta transformación se $1,-1$ e $i$:

$$\begin{eqnarray} 1&\longmapsto &{5\over 7}\\-1&\longmapsto &1\\i&\longmapsto &{18+i\over 25}\\ \end{eqnarray}$$

Ahora calcular el centro y el radio de un triángulo en $\alpha ={5\over 7}$, $\beta =1$ e $\gamma ={18+i\over 25}$.

Desde este triángulo a la derecha en $\gamma$ vemos que el punto medio del segmento de $\alpha \beta$, que es $\sigma = {6\over 7}$ es un centro de nueva círculo con $r = {1\over 7}$.

Answer 3

Yo llevaría los tres puntos en $\mid z\mid=1$ y ver a dónde van. Como se señaló en @greedoid la respuesta, tenemos $f(1)=\frac57\,,f(-1)=1$ e $f(i)=\frac{18+i}{25}$.

Dado que estos puntos no son colinear, la imagen es de hecho un círculo.

Por lo tanto, si $z$ es el centro, tenemos: $\mid z-1\mid=\mid z-\frac57\mid=\mid z-\frac{18+i}{25}\mid=r$.

Esto nos lleva a través de un poco de álgebra para $z=\frac67$. Por lo tanto $r=\frac17$.

Answer 4

El Uso De Inversive Geometría

Para un determinado LFT $\frac{az+b}{cz+d}$ y el círculo de radio de $r$ centrado en $k$, el antipodal puntos de esa fuente círculo $$k\pm\frac{k+d/c}{|k+d/c|}r\tag1$$ obtener asignado por la LFT para antipodal puntos del círculo de la imagen.

Esto es debido a que estos puntos están en la línea que contiene el centro del círculo, $k$, y en el centro de la inversión, $-d/c$. Cualquier línea a través del centro de la inversión asignada a una línea, y dado que la línea es perpendicular a la fuente de círculo en los puntos de intersección, la imagen de la recta es perpendicular al círculo de imagen; es decir, que se cruzan en antipodal puntos.

Si $c=0$ (la LFT es simplemente afín) o $k+d/c=0$ (el centro de la fuente círculo es el centro de la inversión), entonces cualquiera de los dos antipodal puntos asignados a antipodal puntos, por lo tanto, reemplace $\frac{k+d/c}{|k+d/c|}$ con cualquier punto en el círculo unitario en $\mathbb{C}$.

Si uno de los puntos calculados en $(1)$ es igual a $-\frac dc$ (es decir, que el punto se asigna a $\infty$ por la LFT), entonces el círculo se asigna a una línea. En ese caso, sólo tiene que enchufar cualquier otro de dos puntos en el origen de círculo en la LFT de ponerse a dos puntos en la línea de la imagen.

Le da un par de antipodal puntos en un círculo, $\{p_1,p_2\}$, el radio, r, y en el centro, k, de ese círculo está dada por $$r=\frac{|p_1-p_2|}2\qquad k=\frac{p_1+p_2}2\tag2$$

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Aplicación

En este caso, tenemos $\frac{3z+2}{4z+3}$, $k=0$, e $r=1$. Por lo tanto, $(1)$ dice que la antipodal puntos de la fuente círculo $$0\pm\frac{0+3/4}{|0+3/4|}\cdot1=\{-1,1\}\tag3$$ obtener asignado por la LFT para la antipodal puntos del círculo de la imagen $$\left\{1,\frac57\right\}\tag4$$ a continuación, $(2)$ dice que la radio, $r$, y en el centro, $k$, del círculo de la imagen son $$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{r=\frac17\qquad k=\frac67}\tag5$$

Answer 5

Aquí hay otra solución que yo era capaz de encontrar. Aviso de la factorización de la matriz:

$$\left[ \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{5} & 0\\ 0 & 5 \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{cc} 1 & 18 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{cr} \frac{3}{5}& -\frac{4}{5}\\ \frac{4}{5}& \frac{3}{5} \end{array} \right] = A \times B \times C$$ La geometría detrás de esto es que tenemos una transformación de Möbius que los factores en tres partes: $$\text{Möbius} = rotation \times translation \times dilation$$

Ahora tenemos que $|z|=1$ es un círculo centrado en el origen que pasa por los puntos a$z = \pm 1$ e $z = i$. De hecho, todos estos transformación mapa de círculos simétrica sobre el eje real. Aquí están las estaciones después de las respectivas transformaciones:

$$(-1,1) \stackrel{C}{\to} (7, - \frac{1}{7}) \stackrel{B}{\to} (25,\frac{125}{7})\stackrel{A}{\to} (1, \frac{5}{7})$$ Esto corresponde a un círculo centrado en $z = \frac{6}{7}$ radio $\frac{1}{7}$.

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Una posibilidad para el cómputo de este círculo de imagen es notar que el círculo de $|z|=1$ es una geodésica de la curva en la mitad superior del plano (con métrica $ds^2 = \frac{dx^2 +dy^2}{y^2}$) y que pasa por el punto de $(z, \vec{u}) = (i, (1,0)) \in T_1(\mathbb{H})$.

Una transformación de Möbius en $\mathbb{H}$ pueden "levantar" a una transformación de Möbius en $T_1(\mathbb{H})$ como este: $$\left[ z \mapsto \frac{az+b}{cz+d} \right] \a \left[ (z, \vec{u}) \mapsto \left( \frac{az+b}{cz+d} , \frac{\vec{u}}{(cz+d)^2} \right) \right]$$ Vamos a ver qué pasa cuando intento el ejemplo anterior aquí: $$\big(i, (1,0)\big) \mapsto \left( \frac{3i+2}{4i+3}, \frac{(1,0)}{(4i+3)^2}\right) = \left( \frac{18+i}{25} , \frac{1}{25}(24,-7) \right)$$ El factor de $\frac{1}{25}$ puede ser desechado, ya que sólo se necesita el vector unitario. Este mapa es una isometría en el espacio hiperbólico. El vector $\vec{u}$ sería tangente a un semi-círculo con un radio en la dirección $\vec{u}_\perp$ pasa por el punto de $f(z)=(\frac{18}{25}, \frac{1}{25})$. Por lo tanto, el centro sería: $$(\frac{18}{25}, \frac{1}{25}) + \frac{1}{7 \times 25}(24,-7) = (\frac{1}{7},0)$$ de acuerdo con la respuesta anterior.