Origen físico del defecto de masa gravitacional

Question

Para una distribución estática de la materia, la masa (llamémosla masa1) es

$$m=\frac{4\pi}{c^2}\int^a_0T^0_0r^2dr$$

esto es integrar más $4\pi r^2dr$ . Pero entonces se dice que el elemento de volumen espacial de la métrica debe ser $dV=4\pi r^2 \sqrt{g_{00}}dr$ . Por lo tanto, si se integra sobre el volumen espacial, la masa es diferente (permítanme llamarla masa2).

Según lo que he leído hasta ahora, la masa1 es la que se utiliza para calcular el radio gravitatorio y, por tanto, todas las ecuaciones de movimiento. Entonces, ¿qué significa la masa2? Se dice que la diferencia entre la masa1 y la masa2 es para estabilizar la estrella. ¿Puede alguien dar más información física sobre estas dos cantidades?

Answer 1

La masa en la Relatividad General (RG) es un concepto no trivial. Cuando se habla de una "masa" hay que ser muy cuidadoso o, permítanme decirlo de otra manera, preciso sobre lo que uno está reverenciando.

A continuación voy a discutir el concepto de "masa" en el caso de un cuerpo esférico simétrico y estático. El elemento de línea del espacio-tiempo estático y de simetría esférica puede escribirse como $$ds^2=-e^{\nu(r)}dt^2+e^{\lambda(r)}dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2.$$ En el espacio libre $T_{\mu\nu}=0$ se puede resolver la ecuación de campo de Einstein para ese elemento lineal/métrico que conduce a la solución exterior de Schwarzschild (ESS). Se puede obtener la ESS simplemente por los argumentos de simetría, la desaparición del tensor de energía-momento y la planitud asintótica. En mi notación la ESS se lee: \begin{align} e^{\nu(r)}&=1-\frac{2M_{ESS}}{r},\\ e^{\lambda(r)}&=\left(1-\frac{2M_{ESS}}{r}\right)^{-1}. \end{align} Hasta ahora $M_{ESS}$ es sólo una constante de integración. Sin más discusión no podemos identificar $M_{ESS}$ como una masa; sólo sabemos que tiene la dimensión de una masa pero también tiene $2M_{ESS}\equiv R_s$ . Así que hay (a mi entender) al menos dos buenas razones para llamar $M_{ESS}$ masa gravitacional:

1. $M_{ESS}$ es el único parámetro que rige la curvatura del espacio-tiempo y es la masa que siente un observador casi newtoniano a grandes distancias.
2. $M_{ESS}$ es el único parámetro que rige la aceleración gravitatoria relativista general $\kappa$ viene dada por $$\kappa=-\frac 12 e^{(\nu(r)-\lambda(r))/2}\nu'(r)=-\frac{M_{ESS}}{r^2}.$$ Para una definición de esta aceleración radial puedo referirme a [Ø. Grøn,1985] . Esta es una expresión totalmente relativista general y por pura coincidencia se parece a la aceleración gravitacional newtoniana.

En el caso del ESS tiene sentido llamar a $M_{ESS}$ "masa gravitacional" .

PERO el ESS no dice nada sobre el espacio con la no desaparición $T_{\mu\nu}$ . En el escenario actual vamos a considerar sólo un fluido ideal como contribución a $T_{\mu\nu}$ así que $T_{\mu}{}^{\nu}=\mathrm{diag}(-\epsilon(r),p(r),p(r),p(r)).$ En ese caso, las ecuaciones TOV describen la curvatura espacio-temporal en regiones donde $P(r)$ y $\epsilon(r)$ no son cero. Llamemos a esta región interior con $r\in[0,R]$ , donde $R$ es el radio estelar. En la superficie $r=R$ las soluciones de las ecuaciones TOV para $\nu(r)$ y $\lambda(r)$ deben coincidir con los del ESS. Y se puede demostrar que dentro de la estrella $$e^\lambda(r)=(1-m(r)/r)^{-1},$$ con $$m(r)=4\pi\int_0^r \epsilon(\tilde r) \tilde r^2 d\tilde r$$ y la condición de coincidencia $m(R)=M_{ESS}$ .

Así que tal vez ahora al punto de lo que es $m(r)$ . Ok en $r=R$ $m(R)=M_{ESS}$ se mantiene y así en la superficie estelar $m(R)$ tiene todos los significados de $M_{ESS}$ PERO para $r\neq R$ no sabemos nada sobre $m(r)$ en el momento actual no podemos decir nada sobre $m(r)$ en $r\neq R$ porque dentro de la estrella lo introducimos sólo como una variable para manejar las ecuaciones TOV. Dentro de la estrella $m(r)$ no tiene ningún significado real. A menudo se le llama "masa cerrada" pero sólo es cierto en ese sentido que una vez que esta cantidad $m(r)$ se integra desde el centro hasta la superficie es la masa gravitatoria.

Al mirarlo es una expresión completamente impar: es una integral sobre la densidad de energía pero sin el elemento de volumen propio de la RG y por qué sólo integramos sobre la densidad de energía y no sobre la traza de $T_{\mu\nu}$ .

La expresión general para "masa gravitacional activa" $M_G$ para una configuración estática en GR es el de la "energía total encerrada" $U=M_{TW}$ . Daré una expresión para la energía total encerrada que es la masa gravitacional activa en forma de Tolman-Whittaker:

$$M_G(R)=M_{TW}(R)=U(R)=4\pi\int_0^R (-T_0^0+T_1^1+T_2^2+T_3^3)e^{(\nu(r)+\lambda(r))/2} r^2 dr.$$

Se trata de la integral sobre la traza del tensor de energía momento con el elemento de volumen propio de la RG. Corresponde a la energía interna total y a la masa gravitatoria activa encerrada en una esfera de radio $R$ y se pueden dar expresiones similares para configuraciones no esféricas pero sí estáticas. PERO cómo tiene sentido esta expresión en el caso de las ecuaciones TOV: Acabo de afirmar que $m(R)=M_{ESS}$ es la masa gravitacional de la estrella. ¿Y ahora qué? Pues $$m(R)=4\pi\int_0^R \epsilon(r) r^2 d r$$ y

$$M_G(R)=M_{TW}(R)=U(R)=4\pi\int_0^R (\epsilon(r)+3P(r))e^{(\nu(r)+\lambda(r))/2} r^2 dr $$ parecen muy diferentes pero son iguales. Afirmo que $m(R)=M_G(R)=M_{TW}(R)=U(R)=M_{ESS}(R)$ en el caso de las ecuaciones TOV. Se trata de un resultado muy poco trivial que puede obtenerse integrando $M_{TW}$ por partes utilizando las ecuaciones TOV y sus condiciones de contorno específicas en $r=0$ y $r=R$ . Esto es válido sólo para $m(R)$ no para $m(r)$ con $r\neq R$ así que de nuevo $m(r)$ sólo tiene un significado real en $R$ . $M_{TW}(r)=U(r)$ por otro lado tiene un significado propio en $r\neq R$ es la energía total encerrada hasta un radio $r$ . Además se puede demostrar que incluso dentro de la estrella $$\kappa=-\frac{m_{TW}(R)}{r^2},$$ que de nuevo es un resultado no trivial de las ecuaciones TOV.

Así que esta integral sobre sólo $\epsilon(r)$ sin el elemento de volumen adecuado sólo tiene un significado real en el caso de las ecuaciones TOV y, en principio, sólo en $r=R$ . Es un accidente extraño que esta integral dé la masa gravitacional: hay argumentos para ello en diferentes libros pero en principio no es un resultado tan ajeno a las ecuaciones diferenciales TOV y a las condiciones de contorno. En el caso general $M_{TW}$ sería la expresión correcta para la masa gravitatoria activa y la energía total.

En el caso de la ecuación TOV o de las estrellas deformadas hay muchas otras masas definidas por varias integrales: la masa propia o la masa bariónica serían dos ejemplos.

Answer 2

En pocas palabras, le gustaría ver $\ m_1 \ $ como la masa total de la estrella menos la energía gravitatoria vinculante (clásica); ésta viene dada (clásicamente) por

$$ U = - \frac 35 \frac{G m_{\text{TOT}}^2}{r}. $$

Por supuesto, los estados ligados tienen energías negativas. Así que la idea es que el campo gravitatorio de nuestra estrella es generado por una masa inferior. Como una primera aproximación, muy chapucera, se escribiría algo así:

$$ m_1 = m_{\text{TOT}} - \frac 35 \frac{G m_{\text{TOT}}^2}{rc^2}. $$

Sin embargo, esto no va muy lejos, porque la métrica es diferente cerca de la estrella. Supongo que estás leyendo Landau-Lifshitz vol. 2, capítulo 100: en la solución de Schwarzschild se considera una métrica en la que el tiempo y el radio coinciden con una métrica plana en el infinito. Ahora escriben esta solución en una forma muy conveniente, que derivan de principios teóricos de simetría y simplicidad. Esto les da la métrica clásica de Schwarzschild

$$ ds^2 = \big( 1 - \frac{r_g}{r} \big) c^2dt^2 - \big( 1 - \frac{r_g}{r} \big)^{-1} dr^2 - r^2\big(\sin^2\theta \ d\phi^2 + d \theta ^2 \big). $$

Lo que tenemos que entender aquí es que $\ r \ $ no es realmente el radio, es la distancia desde el centro, y $\ m \ $ no es realmente la masa: son parámetros que se calculan explotando la simetría radial y el requisito de que la métrica sea asintóticamente plana (forma. (100,12)). Por lo tanto, este $\ m \ $ (su $\ m_1 \ $ ) es la masa que se encontraría midiendo el campo gravitatorio a gran distancia. En el libro consiguen esto mediante largos cálculos, ocultando un poco la idea.

Por lo tanto, este $\ r \ $ tiene la propiedad de que una esfera centrada en la estrella tiene área $\ 4 \pi r^2, \ $ y esto $\ m \ $ se puede obtener mediante esta confusa integral:

$$ m = \int_0^a \frac{1}{c^2} T_0^0 4 \pi r^2 dr = \frac{4 \pi}{c^2} \int_0^a \cal E r^2 dr. $$

En el libro está escrito que la "masa total", su $\ m_2 \ $ sería

$$ m_\text{TOT} = \frac{4 \pi}{c^2} \int_0^a \cal E \frac{r^2 dr}{\sqrt{ 1 - \frac{r_g}{r}}} > m, $$

PERO 1) la métrica dentro de la estrella no necesita tener un horizonte en $\ r_g: \ $ de hecho en la realidad la métrica interna real sería suave; 2) esto no calcularía la energía del campo gravitatorio: intuitivamente, el espacio se curva como el fondo de una taza cerca de la estrella (por ejemplo ver MTW \ "Gravitación," página 614, fig. 23.1 ) para que vea que el radio $\ r \ $ es como el radio euclidiano medido desde fuera del espaciotiempo (como el radio de un paralelo visto como un círculo en el espacio 3D en contraposición al radio medido a lo largo del meridiano). Con un poco de geometría diferencial deberías ver que la integral dada mide algo así como la masa-energía total de la estrella menos la energía del campo gravitatorio.