Conjunto ordenado incontable isomorfo a sus subconjuntos incontables

Question

Intento demostrar que existe un conjunto ordenado incontable que es similar a cada uno de sus subconjuntos incontables.

Esto es lo que pretendía: Que $\left<A,\prec \right>$ sea el conjunto de los ordinales contables con la ordenación habitual de los ordinales. Cualquier subconjunto incontable $B$ de $\left<A,\prec \right>$ está bien ordenado. Uno de $A$ o $B$ es similar a un segmento inicial del otro. Pero ambos $A$ y $B$ tienen segmentos iniciales propios contables, por lo que el segmento inicial debe ser todo el conjunto. En cualquier caso obtenemos que $A$ y $B$ son similares.

Me falta algo...

Answer 1

Tu ejemplo está bien; es sólo tu argumento el que necesita alguna reparación. Cualquier adecuado segmento inicial de $A$ o $B$ debe ser contable (¿por qué?), así que ni $A$ ni $B$ puede ser similar a un segmento inicial propio del otro, y por lo tanto ...

Answer 2

Necesitas dos datos. Cualquier ordinal incontable donde cada segmento inicial es contable debe ser $\omega_1$ . Y todo subconjunto de un ordenamiento bien ordenado está bien ordenado.

Armado con estos dos hechos, sólo hay que mirar los subconjuntos, de $\omega_1$ . Sabemos que tienen cierta ordinalidad. ¿Qué posibilidades hay?