Encuentra minimizador de la función$l(u)= \int_{-1} ^1 u(t) \mathbb d t$

Question

Encuentre el minimizador de la función$ l(u)= \int \limits _{-1} ^1 u(t) \mathbb d t $ con$u(-1)=u(1)=0 $ sujeto a$g(u)=\int \limits _{-1} ^1 \sqrt{1+u'(t)} \mathbb d t=π $.

Lo resolví usando las ecuaciones de Lagrange y encontré$u(t)=\sqrt{\lambda ^2 -(t+c)^2 }+c$.

Primero comencé por$l^*=l- \lambda g$ y luego usé la ecuación de Euler-Lagrange ($l_u -\frac{d}{dt}l_u'=0$) o la primera integral ($l-u'l_u'=c$).

Mi problema es cómo encontrar el valor de$c$.

Answer 1

Usando las condiciones iniciales$u(-1)=u(1)=0$, solo impone$\sqrt {\lambda ^2 - (-1 + c)^2} + c = \sqrt {\lambda ^2 - (1 + c)^2} + c = 0$. La primera igualdad da$c=0$. A continuación, utilizando$c=0$, la segunda igualdad dará$\lambda = \pm 1$.