¿Cómo solucionarlo?

Question

La pregunta es:

Si$$A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\cdots+\frac{1}{1997.1998}$ $ y$$B=\frac{1}{1000.1998}+\frac{1}{1001.1997}+\cdots+\frac{1}{1998.1000}$ $, ¿cuál es el valor de$\frac{A}{B}$?

Podría descubrir que$A=\frac{1997}{1998}$, pero no tengo idea de cómo proceder con$B$. ¿Alguien podría ayudar?

Gracias por cualquier ayuda :-)

Answer 1

Pude encontrar un valor aproximado muy preciso para$B$. La suma se puede escribir como$$B=\sum_{k=0}^{998}\frac{1}{(1000+k)(1998-k)}$ $$$=\frac{1}{2998}\sum_{k=0}^{998}\frac{1}{(1000+k)}+\frac{1}{(1998-k)}$ $$$=\frac{2}{2998}\sum_{k=0}^{998}\frac{1}{(1000+k)}$ $$$=\frac{2}{2998}(H_{1998}-H_{999})$ $

Dónde $H_n=\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}$. Para grandes$n$,$H_n$ puede ser aproximado como$H_n=\ln n$, por lo que en el último paso podemos escribir aproximadamente

$$\frac{2}{2998}(H_{1998}-H_{999})\approx \frac{2}{2998}\ln \frac{1998}{999}$ $ Maple nos dice que el error en esta aproximación es aproximadamente$0.11\%$, lo cual es bastante pequeño. Por lo tanto$B\approx 4.62\cdot 10^{-4}$