¿El conjunto cero de una función armónica de valor real no cero es discreto?

Question

Es un hecho básico de que la puesta a cero de un cero holomorphic función definida en un conjunto abierto $A$ es discreto.

Por un resultado en Rudin del libro de texto sobre "Real y el Análisis Complejo", sabemos que cualquier real con valores de armónicos de la función $u$ a nivel local es la parte real de algunos holomorphic función, así que la siguiente pregunta:

Es el ajuste a cero de la $Z(u)$ de un cero real de los valores de armónicos de la función $u$ definida en el conjunto abierto $A\subset \mathbb{C}$ discreto?

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Tenga en cuenta que si $u$ se desvanece en un conjunto abierto no vacío $O\subset A$, a continuación, escriba $f=u+iv$ a ser el holomorphic función, luego de Cauchy-Riemman del teorema implica que $v=0$$O$, lo $f=0$$O$,$f=0$$A$.

Answer 1

No. La función$f(a+ib)=b$ es armónica pero su conjunto de cero es la línea real.