Identificando una medida multiplicativa.

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Deje $\mu:\mathcal{B}_{[0,1]}\rightarrow\mathbb{R}$ ser un multiplicativo de medida, es decir, $$\int fg d\mu=\left(\int f d\mu\right)\left(\int g d\mu\right)$$ for all continuous $ f,g:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}.$

Identificar las $\mu.$

Yo estaba pensando en dos posibles casos. Uno de ellos consiste en la medida de Lebesgue y el otro el trivial de medida: Si consideramos que la función constante $f=g=1$ tenemos $\mu([0,1])=\mu([0,1])^{2}$ lo $\mu([0,1])=0$ o $\mu([0,1])=1.$ Si $\mu([0,1])\neq 0,$ no estoy seguro de $\mu$ ser la medida de Lebesgue, porque en general, para la medida de Lebesgue, no satisface la igualdad de $\mu(A\cap B)=\mu(A)\mu(B).$

También estaba considerando el caso de $f=g$ conseguir $\int f^2 d\mu=\left(\int f d\mu\right)^2$ pero me parece un poco inútil.

Cualquier tipo de ayuda, se agradece.

Answer 1

Suponga $\mu$ es finito.

Teorema. Si $\int f^2 = (\int f)^2$ entonces $f$ es constante $\mu$- .e.

Prueba. Para nosotros ha $\int (f - \int f)^2 = \int f^2 - (\int f)^2 = 0.$ Q. E. D.

Por lo tanto, cada función es constante con respecto a $\mu.$ Esto implica $\mu$ se concentra en un punto, decir $x_0.$ (Para ver esto, basta observar la función $t \mapsto t$ es constante con respecto a $\mu.$)

Observe ahora que si $\mu = c \varepsilon_{x_0}$ entonces $\int fg = c f(x_0) g(x_0)$ mientras $\int f \int g = c^2 f(x_0) g(x_0)$ e $c = 0$ o $c = 1.$ Claramente, la medida cero y cualquier medida de Dirac obras. El final.

Answer 2

$$(\int f d\mu)(\int gd\mu)=0$$ for all $f,g\in C([0,1])$ such that $fg=0$.

Así que o $(\int f d\mu)=0$ o $(\int g d\mu)=0$ o ambos.

Tome $0\leq f_1,f_2\leq1$ tal que $f_1|_{[0,\frac{1}{2}]}=0$ e $f_2|_{[\frac{1}{2},1]}=0$. Tenemos que, o bien $\int f_1=0$ o $\int f_2 =0$ o ambos.

Si $\int f_1\neq0$ , a continuación, todas las funciones en $C([\frac{1}{2},1])$ cero de la integral y la medida se concentra en $[0,\frac{1}{2}]$. De igual manera, con $[\frac{1}{2},1]$. Con una dicotomía argumento de obtener una secuencia de conjunto compacto con longitud de la convergencia a cero, obteniendo así un punto y $\mu=\delta_x$.

Si para todos los $f_1$ e $f_2$ ambos $\int f_1=0$ e $\int f_2=0$ llegar $\mu=\delta_{1/2}.$

Answer 3

Necesitamos el siguiente hecho:

Si $f$ es estrictamente positivo en un conjunto de Borel $A$, e $\int_A fd\mu=0$, a continuación, $\mu(A)=0$.

Tomar algunas positiva continua en función de $f$ cuyo apoyo es $[0, \frac12)$, y algunos positiva continua en función de $g$ cuyo apoyo es $(\frac 12, 1]$. Su producto es cero en $[0, 1]$ y así tendremos a $\int f=0$ o $\int g=0$. Así que o $\mu([0, \frac12))=0$ o $\mu((\frac12,1])=0$. Pensando a lo largo de estas líneas, es posible demostrar que el $\mu$ es cero o una medida de Dirac.