Elementos invertibles en $l^1(\mathbb Z)$

Question

El espacio vectorial $l^1(\mathbb Z)$ con $||x|| = \sum_{n \in \mathbb Z} |x_n|$ y $x * y(t) = \sum_{k \in \mathbb Z} x(k)y(t-k)$ forma unital complejo Álgebra de Banach, siendo la unidad $\mathbf 1(0) = 1$ y $\mathbf 1(z) = 0$ para todos $z \neq 1$ .

Necesito encontrar los elementos invertibles de esta álgebra de Banach.

Lo primero que hacemos es observar que si $||h|| < 1$ entonces $1-h$ es invertible. Además, $f$ es invertible si y sólo si $\alpha f$ es invertible para algún escalar $\alpha$ no cero. Por lo tanto, combinando estos, si hay alguna $\alpha \in \mathbb C$ y $h \in l^1(\mathbb Z)$ con $||h|| < 1$ tal que $f = \frac{1}{\alpha} (\mathbf 1 - h)$ entonces $f$ es invertible.

Esto se simplifica a $\mathbf 1 - \alpha f$ ser de norma $<1$ para algunos $\alpha$ no es cero. Por definición de la norma , $$\sum_{k \in \mathbb Z} |(\mathbf 1(k) - \alpha f(k))| < 1 \iff |1-\alpha f(0)| + \sum_{k \neq 0\in \mathbb Z} |\alpha||f(k)| < 1 $$

No me queda claro cómo debo proceder a partir de este punto: esto da alguna condición sobre $f$ en términos de $\alpha,h$ y quiero afirmar que esto es suficiente, pero no ha sido posible avanzar en la otra dirección porque $f * g = \mathbf 1$ de la suposición de $f$ ser invertible no es factible debido a que hay demasiadas ecuaciones en las incógnitas $f(k)$ .

Creo que esto se reduce a qué elementos del álgebra de Banach no tienen cero en su espectro, así que si hay algún resultado en esa dirección (es decir, resultados sobre el espectro) me gustaría saberlo también.

Answer 1

Las álgebras de Banach tienen una transformada de Fourier generalizada, llamada transformada de Gelfand, que mapea elementos $x$ a funciones continuas $\hat{x}$ (actuando sobre el "espacio de caracteres"). Un resultado estándar es que, para álgebras de Banach conmutativas como $\ell^1(\mathbb{Z})$ la imagen de esta función es igual al espectro del elemento.

Para $\ell^1(\mathbb{Z})$ la función continua asociada a la secuencia $\boldsymbol{x}=(a_n)$ es $\sum_{n\in\mathbb{Z}}a_ne^{in\theta}$ . Ahora $\boldsymbol{x}$ es invertible si su espectro no contiene $0$ por lo que, según el teorema, es lo mismo que la función $\hat{x}$ no tener $0$ a su imagen y semejanza, $\sum_{n\in\mathbb{Z}}a_ne^{in\theta}\ne0$ para todos $\theta$ .