La Teoría de los números en una variedad de menos de Mundo

Question

Estaba leyendo este artículo en el axioma de elección (AC) y menciona el hecho de que un número creciente de personas se están moviendo en la escuela de pensamiento que considera AC inaceptable debido a su falta de constructivo de las pruebas. Un debate con Mariano Suárez-Alvarez aclaró que este rechazo de CA sólo se produce cuando tiene sentido.

Esto me puso a pensar. ¿Cuáles son algunos ejemplos de teoremas de teoría de números que requiere el axioma de elección o de sus equivalentes (es decir, el lema de Zorn) para su prueba?

Nota: Alguien me mencionó que el Último Teorema de Fermat requiere de CA. Se puede verificar esto?

Answer 1

Si tomamos un estrecho suficiente de vista de la teoría de números, AC, en principio, puede ser dispensado. Tomar una frase $\varphi$ (de primer orden) de la Aritmética de Peano, y deje $\varphi'$ ser la traducción usual de $\varphi$ en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Si $\varphi'$ es demostrable en ZFC, entonces $\varphi'$ es comprobable en ZF.

Existe una considerable extensión de este resultado llama la Shoenfield Teorema de Completitud.

Comentario: El resultado podría ser visto como un argumento para la aceptabilidad de CA. Incluso si AC es de hecho falso, no puede dar lugar a falsos primaria afirmaciones acerca de los números enteros, a menos ZF ya lo hace. Por lo tanto, incluso si uno tiene filosófica dudas acerca de ella, se puede utilizar libremente para demostrar número teórico de afirmaciones.

Answer 2

Esto realmente depende de "¿qué es la teoría de los números". Si sólo piensas de las declaraciones acerca de los números naturales, no puedo, por la vida de mí, un buen ejemplo de que el axioma de elección oculta en el interior.

Cosas como la del teorema de Wilson, o Euclides prueba de la infinitud de los números primos no requieren ninguna opción en absoluto. Recordemos que en ZF se demuestra la consistencia de PA, así que las cosas que son demostrables directamente de PA no requiere el axioma de elección.

Por otro lado, la moderna teoría de números es mucho más que eso. Es una maraña de álgebra y análisis que se va a utilizar maquinaria pesada de la matemática moderna. Hablamos de ideales, sobre algebraicas cierres, hablamos de $p$-ádico campos y hablamos de la teoría de la representación.

Muchos de los que requiere el axioma de elección, tal vez entonces podemos limitar la elección que utilizar si estamos interesados en las cosas que "viven" en el interior o alrededor de $\mathbb C$, pero todavía tendría que utilizar una parte como dependiente de la elección y de ultrafilter lema.

Answer 3

Mi experiencia, que es entre el grupo de personas que están trabajando en automorphic formas, representaciones de Galois, y sus interrelaciones, es que a nadie le importa acerca de si o no AC se invoca. Creo que para algunos, esto es simplemente porque ellos realmente no les importa. Para otros (como yo), es porque la AC es una herramienta conveniente para la configuración de ciertos marcos, pero no creen que es verdaderamente necesario cuando se aplica a la teoría de números. (Por razones de algo relacionado con Asaf Karagila la respuesta, supongo: hay una sensación de que todos los anillos/esquemas/etc. que aparecen son de una esencia finitistic y constructivo de la naturaleza, y así uno no tiene opción para trabajar con ellos --- a pesar de que nadie puede ser molestado en construir todo de manera constructiva, por lo que, como he dicho, AC es una conveniente herramienta formal.)

En un poco de la nota relacionada: Mi sensación es que la mayoría de los número de teóricos, al menos en las áreas que yo estoy familiarizado con, discutir con la lógica de segundo orden en los números enteros, en lugar de primer orden de la lógica, es decir, ellos están felices de quanitfy a través de subconjuntos de los naturales, y así sucesivamente. Y están realmente trabajando con el real en los números naturales, no sólo un sistema arbitrario de satisfacciones PA. Así que no es inmediatamente claro si los resultados (tales como FLT) que se han demostrado para los números naturales son en realidad verdaderos para cualquier modelo de PA. Pero, como con el uso (o no) de CA, puede ser difícil de decir, porque la gente normalmente no se preocupa con este tema, y por eso no la frase de sus argumentos (incluso a sí mismos) de tal forma que sea fácilmente perceptible lo axiomático marco se está trabajando. (Creo que muchos tienen la idea de que "Dios hizo los números enteros ...".) Un ejemplo de esto es la cuestión de determinar exactamente lo axioma de la fuerza que realmente se necesita para demostrar FLT. Hasta donde yo sé, esto aún no está definitivamente resuelto.

Answer 4

Realmente no puedo añadir nada sustancial a las respuestas anteriores, pero tal vez es útil para ver un ejemplo claro. La moderna teoría de los números tiene mucho que ver con la geometría algebraica, y por lo tanto con el álgebra conmutativa. Uno muy básico teorema que es equivalente al axioma de elección es del teorema de Krull. Se establece que cualquier conmutativa unital anillo tiene un ideal maximal. Esto es sin duda muy importante por muchas razones y es probable que no sea fácil trabajar sin esta propiedad.