¿Distribución de min(X+Y,Y+Z,X+Z,Z+V,X+V,Y+V)?

Question

Dejemos que $X,Y,Z,V$ sean variables aleatorias continuas i.i.d en un intervalo $[a,b]$ . ¿Cuál será la distribución de $\min(X+Y,Y+Z,X+Z,Z+V,X+V,Y+V)$ ? Supongamos que la distribución de las variables aleatorias es $F(.)$ con $F(a)=0$ y $F(b)=1$ .

Mi intento:-

Dejemos que $W=\min(X+Y,Y+Z,X+Z, Z+V,X+V,Y+V)$ . Tenemos que encontrar $P(W\leq w)$ . Esto significa que $P(X+Y \leq w \wedge Y+Z\leq w\wedge X+Z\leq w \wedge Z+V\leq w\wedge X+V\leq w\wedge Y+V\leq w)$ . Pero estas sumas no son independientes, por lo que no pude seguir adelante.

¿Cuál debería ser el enfoque general para estos problemas?

Answer 1

Sus anotaciones no ayudan. Reformule el problema como $$X_1,\ldots,X_4\stackrel{\text{iid}}{\sim} f(x)$$ y $$Y=\min\{X_1+X_2,X_1+X_3,X_1+X_4,X_2+X_3,X_2+X_4,X_3+X_4\}$$ A continuación, puede expresar $Y$ en cuanto a las estadísticas de pedidos $$X_{(1)}\le X_{(2)}\le X_{(3)}\le X_{(4)}$$ y deducir que $Y$ es una suma específica de dos de estos estadísticos de orden, lo que lleva a la conclusión. Efectivamente, $$Y=X_{(1)}+X_{(2)}$$ y, como $$(X_{(1)},X_{(2)})\sim \frac{4!}{2!}f(x_{(1)})f(x_{(1)})[1-F(x_{(2)})]^2$$ se puede derivar la distribución de $Y$ de un paso de convolución: $$Y\sim\int_{-\infty}^{\infty} \frac{4!}{2!}f(x_{(1)})f(y-x_{(1)})[1-F(y-x_{(1)})]^2\,\text{d}x_{(1)}$$