Subgrupo más pequeño generado por un subconjunto de un grupo.

Question

Si$\ G$ es un grupo, y el conjunto de $S=\{a,b\}$ es un subconjunto de a$\ G$, podemos decir que el más pequeño subgrupo de $\ G$ generado por $\langle a,b\rangle$ siempre será bien $\langle a \rangle$, $\langle b\rangle$o, en el caso de que $\langle a\rangle$ no genera $b$ y $\langle b\rangle$ no genera $a$, a continuación, $\langle a,b\rangle$ = $G$?

Estoy teniendo dificultad tratando de pensar un contraejemplo a esta, en particular, un grupo finito cuyos elementos pueden ser fácilmente enumerados (por ejemplo, $\ U(n)$ el grupo multiplicativo de los números enteros modulo $n$).

Answer 1

No. Acaba de tomar el grupo $C_2 \times C_2 \times C_2$ ver esto. Para motivar un poco a la construcción de un ejemplo de un grupo que no logra satisfacer su propiedad, pensar en la situación como esta:

Si podemos encontrar una adecuada subgrupo $H$ de $G$ tal que $H$ no es cíclica, $G$ definitivamente no logran satisfacer su propiedad. ¿Por qué?

Entonces es fácil ver que el menor no cíclico grupo es $V = C_2 \times C_2$. ¿Cómo podemos tener $V$ como un subgrupo de algún otro grupo? La forma más obvia de hacerlo es tomar $G = A \times V$, donde $A>1$ es cualquier grupo. El ejemplo que he dado es la elección de $A = C_2$ (y es un grupo de más pequeño posible el fin de que no cumpla su propiedad).