¿Existe una partición de una L para crear un cuadrado?

Question

Antecedentes: Considere la siguiente colección de azulejos. Estos se pueden organizar para formar una "diferencia de dos cuadrados", que yo llamo una "L" (mostrado arriba), o un "cuadrado" (que se muestra a continuación).

En este ejemplo en particular, tenemos $3a = c$. Cuando la longitud de la L satisfacer esta relación, uno puede partición de la L de tal manera que la reorganización de las piezas que produce un cuadrado.

¿Qué pasa si las longitudes de los lados no satisfacen esta relación? Más precisamente, mi pregunta es la siguiente.

Pregunta: Suponga que usted es debido a un arbitrario L con el lado exterior de las longitudes $c$ lado interno y longitudes $a$. Hay un procedimiento que se puede seguir para crear una partición finita de la L, que puede ser vuelto a montar para formar un cuadrado de lado longitudes $b = \sqrt{c^2 - a^2}$? Aquí $a, c \in \mathbb R$ son arbitrarios con $0 < a < b$.

El término "procedimiento" que se deja intencionalmente vaga. Creo que esto es difícil de lograr. Lo que si $a,b,c$ son ternas Pitagóricas? Puede que el problema de arriba, a continuación, ser resuelto?

Si este segundo problema también es demasiado difícil, ¿hay alguna otra clase de razones por las que este es el problema a resolver?

Answer 1

Si $a$ es lo suficientemente pequeño, un conocido de la disección usado para demostrar de Pitágoras teorema puede servir como una base para crear una partición de la L (ver diagrama a continuación). Por supuesto, las cosas se vuelven más complicadas si $a$ se hace más grande, no he probado ese caso para ver si se puede obtener una simple partición.

EDIT.

Aquí está otra partición inspirado por un Pitagórico de la prueba (# 26 en https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/). Esto permite que los mayores valores de $a$.

Answer 2

Que se puede hacer. Si o no se puede hacer bien depende de su definición de "bien".

En geometría, el Wallace–Bolyai–Gerwien teorema, el nombre de William Wallace, Farkas Bolyai y Pablo Gerwien, es un teorema relacionado con las disecciones de los polígonos. Contesta a la pregunta cuando un polígono puede se formó a partir de otro por la corte en un número finito de piezas y la recomposición de estos por traslaciones y rotaciones. El Wallace-Bolyai-Gerwien teorema afirma que esto se puede hacer si y sólo si dos polígonos tienen la misma área.

https://en.wikipedia.org/wiki/Wallace%E2%80%93Bolyai%E2%80%93Gerwien_theorem