Pero, ¿qué es una función continua?

Question

Tengo un problema básico. Estoy confundido acerca de la "función continua" plazo.

Lo que realmente es una función continua? Una función que es continua para todos los de su dominio o para todos los números reales?

Vamos a decir:

$\ln|x|$ - el gráfico claramente dice que es continua para todos los números reales excepto para $0$ que no es parte del dominio. Así es esta función continua o no? Podría decir que la misma acerca de la $\tan{x}$ o $\frac{x+1}{x}$

Y también ¿qué acerca de:

$\ln{x}$ - el gráfico claramente dice que es continua para todos los de su dominio: $(0; \infty)$ - , así es esta $f$ continua o no?

Gracias por la aclaración.

Answer 1

Los matemáticos (pero no todos los libros de cálculo) significan "continuo en cada punto de su dominio" cuando dicen que una función es "continua". Las funciones $f(x) = 1/x$ y $f(x)=\ln x$ son funciones continuas.

Answer 2

"Continuo" no es, en sí mismo, una propiedad de una función. Debe hablar sobre ser continuo en un punto determinado o en una colección de puntos como lo ha hecho anteriormente.

En general, es seguro asumir que si alguien abandona el conjunto, pretende decir que la función es continua en su dominio (como lo son los dos ejemplos); pero, tiendo a creer que lo explícito es mejor que lo implícito.

Answer 3

La respuesta exacta depende de su elegido definición de "función" (hay más de uno). Para la mayoría de usos, una función que se considera como continua en un intervalo $(a,b)$ si para cada número $c$ en $(a,b)$, $f(x)=\lim_{x\to c} f(x)$.

En su ejemplo, $f(x)=\ln{x}$ es continua en el intervalo $(0,\infty)$ y ya sea indefinido o de complejos/multivalor en todas partes, dependiendo de si se puede considerar el codominio (rango) de $f$ a incluir los números complejos o no.

En otras palabras, la función no está nunca solo "continuo" - es continua en un intervalo (que puede o no ser de su dominio).

Answer 4

Lo es, pero lo que usted está buscando puede ser la idea de la continua extensión.

Aquí tanto $\frac{1}{⋅}$ e $\log$ son continuas en el sentido de que son (pointwise) continuas en sus respectivos dominios, como es $$ \left| \begin{array}{lll} f : &\mathbb{R}^* ⟶ \mathbb{R}\\ & x \longmapsto x² \end{array} \right. $$ La diferencia es que no existe $g: \mathbb{R}→\mathbb{R}$ continua tal que $g(x)=f(x)$ para todos los $x∈\mathbb{R}^*$ - lo $f$ tiene una continua extensión en $\mathbb{R}$ - , mientras que $\frac{1}{⋅}$ no tiene tal cosa.