En el libro Understanding analysis , por Abbot, al analizar la propiedad de Archimedean, el autor afirma que hay extensiones de campo ordenadas de $\mathbb{Q}$ que incluyen "números" más grandes que cualquier número natural.
¿Podría alguien proporcionar ejemplos y una explicación de por qué este podría ser el caso?
Consideremos el anillo de $\mathbb{Q}[x]$ de los polinomios de más de $\mathbb{Q}$. Estos pueden ser linealmente ordenado como en esta respuesta, de manera que se preserve el orden de los racionales. Ahora tenemos el "regular" naturales en este campo: 1, 2, 3 y así sucesivamente. Pero el polinomio $x$ es más grande que todos estos, y $x^2$ es mayor que $x$, y así sucesivamente. Así que en este anillo hay elementos que son superiores a todos los ordinarios de números naturales.
Por el estándar de álgebra abstracta, el orden en $\mathbb{Q}[x]$ puede ser extendido a un orden en el campo de fracciones del anillo. Que le dará una orden de campo que contenga $\mathbb{Q}[x]$ como un sub-anillo, y como tal, contiene los elementos más grande que todos los ordinarios de números naturales.
Hay otros algebraica de las construcciones que dan a otros no Arquímedes ordenó campos, así.
En la lógica, la compacidad teorema dice que si tenemos un conjunto de axiomas, de manera que cada subconjunto finito de axiomas es consistente en su propio, entonces el conjunto es consistente. Tomar nuestros axiomas para incluir los axiomas de orden del anillo, y también el axioma $z > n$ por cada $n$. Para cualquier subconjunto finito de estos axiomas, se puede elegir un valor de $z$ lo suficientemente grande como para hacer que el subconjunto finito de cierto en $\mathbb{Q}$. Así que hay un modelo en el que todos los axiomas son verdaderos a la vez. En ese modelo, lo $z$ es debe ser un elemento más grande que cada número natural.
En el análisis no estándar, trabajamos con un campo que se extiende de los reales en los que hay infinitesimals. Para este propósito, una infinitesimal es un elemento $\delta$ , de modo que $0 < \delta$ pero $\delta < 1/n$ para cada natural ordinaria número $n$. Entonces si $\delta$ es infinitesimal, $1/\delta$ existe (ya $\delta \not = 0$, e $1/\delta$ es mayor que $n$ para todos los $n$.
En el campo de funciones racionales sobre $\mathbb{Q}$. Yo no sé cuál es la notación estándar para este, pero vamos a denotar por $\mathbb{Q}(x)$.
$$\mathbb{Q}(x)=\left\{\frac{p(x)}{q(x)}: p(x),q(x)\in\mathbb{Q}[x] \text{ and } q(x)\neq 0 \text{ is a monic polynomial.}\right\}$$
Para definir un orden en él, definen $f>g$ si y sólo si $f-g>0$ donde una función racional es positivo si y sólo si su coeficiente inicial del numerador es positivo. Os dejo el proceso de comprobación de los axiomas.
Ahora compare $\frac{x}{1}$ e $\frac{n}{1}$. Vemos que $\frac{x}{1}-\frac{n}{1}=\frac{x-n}{1}>0$. Así, $x$ es mayor que cualquier número natural $n$.
Edit: Después de que Carl Mummert maravilloso comentario, vale la pena agregar que en el fin de tener un orden definido, debemos primero establecer el coeficiente inicial en el denominador de ser $1$ multiplicando la totalidad de la fracción por la inversa de este coeficiente, si es necesario. Por lo tanto, podemos asumir que $q(x)$ es monic. Ahora, podemos ver que el orden en que se han definido también es una extensión de la orden en $\mathbb{Q}$ así.
Aquí es bien conocida la construcción de un pedido de extensión de campo de $\mathbb Q$ que proviene de la lógica y del análisis no estándar, como se mencionó en la respuesta de @CarlMummert.
Elegir un nonprincipal ultrafilter en los números naturales $\mathbb N$: un ultrafilter es un finitely aditivo, $0,1$valores de medida definidos en todos los subconjuntos de a$A \subset \mathbb N$, de tal manera que $\mathbb N$ tiene una medida de $1$; y $\mu$ es nonprincipal si $\{i\}$ tiene medida cero para cada $i \in \mathbb N$. La existencia de un nonprincipal ultrafilter es un ejercicio de aplicar el axioma de elección.
Consideremos el conjunto a$\mathbb Q^{\mathbb N}$ , que es el conjunto de todas las secuencias de los números racionales. Definir una relación de equivalencia en este conjunto: dado $\underline x = (x_i)$ e $\underline y = (y_i) \in \mathbb Q^{\mathbb N}$, definir $\underline x \approx \underline y$ si el conjunto de índices de $i$ para que $x_i = y_i$ tiene una medida de $1$. Deje $[\underline x] = [x_1,x_2,x_3,...]$ denota la clase de equivalencia de a$\underline x = (x_1,x_2,x_3,...)$. Definir la suma y la multiplicación en la manera obvia: $[\underline x] + [\underline y] = [\underline z]$ significa que el conjunto de índices para que $x_i + y_i = z_i$ tiene una medida de $1$, y de manera similar para la multiplicación. Definir la desigualdad de manera similar: $[\underline x] < [\underline y]$ si el conjunto de índices para que $x_i < y_i$ tiene una medida de $1$. Comprobar que todo está bien definida, y que reciba una orden de campo.
Para incrustar $\mathbb Q$ en este campo, asignar el número racional $q$ a $[q,q,q,q,q,q,q,q,q,q,...]$. Verifique que esta es una incrustación de ordenada campos.
Para identificar un número mayor que cualquier número natural, tome $[1,2,3,4,5,6,7,8,9,...]$.
Conway surrealista números de forma totalmente ordenada Campo (donde el capital 'F', significa que son una clase adecuada (y no sólo un conjunto) que contiene (un campo isomorfo a) el real (y, por tanto, racional) de los números. Se incluyen muchos de los números transfinitos, incluyendo los ordinales, es decir, los números más grandes de todos los reales, racionales o números naturales. Wikipedia nos dice, también, que forman un universal ordenó campo en el sentido de que cualquier ordenó campo puede ser modelado con ellos.
Usted puede solicitar una "explicación de por qué esto podría ser el caso" - que es duro para proporcionar cuando uno no sabe por qué usted piensa que podría no ser posible, como al parecer hacen.
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