¿Por qué el número de Euler es $2.71828$ y no otro número?

Question

¿Por qué el número de Euler es $\mathtt 2.71828$ y no, por ejemplo, $\mathtt 3.7589$?

Sé que $e$ es la base de los logaritmos naturales. Sé sobre las áreas en la hipérbola xy=1 y conozco su fórmula: $$e =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \approx 2.71828$$ Y también sé que tiene muchas otras caracterizaciones. Pero, ¿por qué es $e$ igual a esa fórmula (cuya suma es aproximadamente $\mathtt 2.71828$)?

He buscado en Google muchas veces y siempre termina con "$e$ es la base de los logaritmos naturales". No quiero resolver ecuaciones utilizando $e$ sin entenderlo perfectamente.

Resumen: Estoy buscando el origen de $e$, si $\pi$ proviene del radio de un círculo con un diámetro unitario, ¿entonces qué es $e$ ???

Answer 1

$\sum\frac1{n!}$ no es tan especial.

$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n$ no es realmente especial.

$f'(x)=f(x)$ es una ecuación diferencial muy simple, pero poco destacable, realmente.

$\ln (x)$ es solo un poco mejor que otros logaritmos, en que su derivada es $\frac1x$.

El hecho de que un solo número conecte todos estos (y muchos otros) de manera tan íntima como lo hace $e$ es nada menos que un milagro. Oh, y también $e$ resulta tener la expansión decimal $2.718\ldots$

Answer 2

Usamos $e$ porque es una elección natural, ya que nos da una derivada simple:

$$(e^x)'=e^x.$$

Para otras bases, tenemos

$$(a^x)'=\ln a\,a^x$$ y el factor $\ln a$ es molesto.

Por una razón muy similar usamos radianes en las funciones trigonométricas:

$$(\sin x)'=\cos x.$$

Con grados, tendríamos

$$(\sin_d x)'=\frac\pi{180}\cos_d x,$$ una vez más un factor embarazoso.

Como ha demostrado Hyperion, la condición $(e^x)'=e^x$ induce al valor

$$1+1+\frac12+\frac1{3!}+\frac1{4!}+\cdots$$

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Supongamos que quieres encontrar un número $b$ tal que $(b^x)'=b^x$. Usando la definición de la derivada, podrías intentar resolver

$$\frac{b^{x+h}-b^x}h\approx b^x$$ donde $h$ es un pequeño incremento.

Entonces $$\frac{b^{x+h}-b^x}h=b^x\frac{b^h-1}h\approx b^x$$ conduce a

$$b^h\approx 1+h$$ o $$b\approx(1+h)^{1/h}.$$

Resulta que esta expresión tiene un límite para $h\to0$, que puedes obtener usando el teorema binomial generalizado.

Por ejemplo,

$$1.000001^{1000000}=2.718280469\cdots$$

Answer 3

Claramente, una respuesta es "porque ese es el valor que producen las diversas definiciones, y cuando las seguimos $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$ resulta ser el resultado". Pero no es una respuesta muy satisfactoria (de hecho creo que estás buscando una razón subyacente de por qué sucede eso).

No puedo dar un por qué definitivo, pero mi sugerencia es que tiene algo que ver con procesos iterados como

• tomar la siguiente derivada
• dividir por el siguiente entero
• elegir el siguiente elemento en una permutación
• multiplicar por la siguiente expresión entre paréntesis

todo lo cual es bastante bueno produciendo secuencias de factoriales.

Pero por supuesto ahora tengo $e^{i}=-1$ molestando, y aunque eso se puede explicar en términos de "crecimiento exponencial de lado" y demostrar que es cierto, en sí mismo no parece tan relacionado con ningún proceso iterado, y el comentario de @Arthur de que es "nada menos que milagroso" parece más preciso de lo que cualquier prueba de la conexión sería.

Mi explicación sugerida, si es cierta, simplemente lleva la pregunta a un nivel anterior: "¿Por qué procesos iterados que producen la serie para $e$ aparecen en todas partes?"

Típicamente, si preguntas ¿Por qué? más de unas cuatro o tal vez cinco veces (siguiendo razones subyacentes en lugar de una cadena de eventos causales triviales o una serie de teoremas), llegarás a preguntas filosóficas que no se pueden responder, por ejemplo "¿Por qué está lloviendo?" me lleva después de unos pasos a "¿por qué existen las leyes de la física?" Sospecho que perseguir las razones por las que un número en particular es como es tendrá el mismo resultado.

Answer 4

¿Por qué el número de Euler es 2.718 y no cualquier otra cosa?

Respuesta corta: por definición así.

Primer párrafo del artículo de Wikipedia $e$ (constante matemática):

El número $e$ es una constante matemática que es la base del logaritmo natural: el número único cuyo logaritmo natural es igual a uno. Es aproximadamente igual a $2.71828$, y es el límite de $(1 + 1/n)^n$ a medida que $n$ se acerca a infinito, una expresión que surge en el estudio del interés compuesto.

... ¿por qué es $e$ igual a esa fórmula (cuya suma es aproximadamente $.71828$)?

"Esa fórmula" es una de las definiciones equivalentes de la constante $e$. Todas las definiciones equivalentes tienen el mismo valor aproximado de $.71828$.

He buscado en Google muchas veces y cada vez termina diciendo "e es la base de los logaritmos naturales". No quiero resolver ninguna ecuación usando e sin entenderlo perfectamente.

Si tienes alguna pregunta similar en el futuro, lo primero que deberías preguntarte es cuál es la definición del objeto matemático que te confunde.

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Para la historia de la constante $e$:

https://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)#History

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[Agregado para responder a un comentario abajo.]

La forma en que planteas tu pregunta es problemática. La constante $e$ no es descubierta por los matemáticos. Se define como la constante $\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n$, que tiene el valor aproximado de $2.71828$. Lo que hacen los matemáticos es simplemente darle un nombre a una constante interesante. Si Bob llama a su perro "Alfa", no tiene mucho sentido preguntar "¿Por qué Alfa es un perro, no un gato?" --- ¡porque Bob llama a su perro "Alfa"!

Por otro lado, es razonable preguntar cuál es la "historia" acerca de $e$, dónde aparece y por qué es interesante. Creo que esto es lo que realmente querías preguntar.

Puedes echar un vistazo a este artículo:

Una Guía Intuitiva Para Funciones Exponenciales $\&$ $e$

Aquí tienes un extracto:

Describir e como “una constante aproximadamente 2.71828…” es como llamar a pi “un número irracional, aproximadamente igual a 3.1415…”. Claro, es cierto, pero te perdiste completamente el punto.

Pi es la proporción entre la circunferencia y el diámetro que comparten todos los círculos. Es una proporción fundamental inherente a todos los círculos y por lo tanto afecta cualquier cálculo de circunferencia, área, volumen y área superficial para círculos, esferas, cilindros, etc. Pi es importante y muestra que todos los círculos están relacionados, por no mencionar las funciones trigonométricas derivadas de los círculos (seno, coseno, tangente).

e es la tasa base de crecimiento compartida por todos los procesos de crecimiento continuo. e te permite tomar una tasa de crecimiento simple (donde todo el cambio ocurre al final del año) y encontrar el impacto del crecimiento compuesto y continuo, donde cada nanosegundo (o más rápido) estás creciendo un poquito.

e aparece siempre que los sistemas crecen exponencial y continuamente: población, decaimiento radiactivo, cálculos de interés y más. Incluso sistemas dentados que no crecen suavemente pueden aproximarse con e.

Answer 5

Podemos derivar esa fórmula a través del uso de series de Maclaurin. Si no estás seguro de qué es una serie de Maclaurin en este momento, es un método de representar cualquier función en un cierto intervalo como un 'polinomio infinito'. La fórmula general para la serie de Maclaurin para $f(x) = e^x$ es $$f(x) = e^x = f(0) + f'(0)x + f''(0)\frac{x^2}{2!} + f''(0)\frac{x^3}{3!} + ...$$ Debido a que la derivada de $e^x$ es igual a sí misma, al sustituir $1$ en la serie infinita, encontramos que $$e^1 = e = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ...$$