Los vínculos entre las ecuaciones en diferencias y diferenciales?

Question

¿Existe alguna correspondencia entre la diferencia de ecuaciones y ecuaciones diferenciales?

En particular, se puede lanzar algunas clases de Odas en ecuaciones de diferencia, o viceversa?

Answer 1

Primer ejemplo de pedido

Considerar la diferencia de la ecuación de $$\begin{equation*} x_{n+1} = a x_n,\tag{1} \end{ecuación*}$$ donde $x_0$ es dado con la solución $$\begin{equation*} x_n = a^n x_0. \tag{2} \end{ecuación*}$$

Deje $x_n = x(t_n)$ donde$t_{n+1} = t_n + h$$t_0 = 0$, lo $t_n = n h$. Reescribir la diferencia de la ecuación (1) como $$\frac{x(t_{n}+h)-x(t_n)}{h} = \frac{(a-1)}{h} x(t_n).$$ Si $h$ es pequeña, esto puede ser aproximada por la ecuación diferencial $$\begin{equation*} x'(t) = \frac{a-1}{h}x(t),\tag{3} \end{ecuación*}$$ con la solución $$\begin{equation*} x(t) = x(0) \exp \left(\frac{a-1}{h} t\right).\tag{4} \end{ecuación*}$$ Observe que $\exp\left(\frac{a-1}{h} t\right) = a^{n} + O(n(a-1)^2)$, por lo que para $n\ll 1/(a-1)^2$ encontramos un buen acuerdo con (2).

Va en la dirección inversa, a partir de la ecuación diferencial (3) a diferencia de la ecuación (1), es llamado de Euler método.

Hay una sutileza cuando la aproximación de una diferencia en la ecuación de la ecuación diferencial. Para este problema se requiere que el $|a-1| \ll 1$ ya que tenemos $x_{n+1}- x_n = O(h) \ll 1$. De lo contrario, deberíamos esperar (y encontrar) la aproximación de (1) por (3) de ser pobres. A veces es necesario reformular la diferencia de la ecuación de modo que la diferencia entre los términos sucesivos es pequeño.${}^\dagger$

_{${}^\dagger$ Por ejemplo, supongamos $a$ (1) eran grandes y positivos. Deje $y_0=x_0$ y deje $y_{n+1} = a^{1/p} y_n$, donde $p$ es algún entero grande de lo $|a^{1/p} - 1|\ll 1$. Tenga en cuenta que $y_{n p} = x_n$. La solución de la correspondiente ecuación diferencial para $y$ será una buena aproximación a $y_n$, y esto a su vez puede ser utilizado para aproximar $x_n$.}

Segundo ejemplo de pedido

Considere la ecuación diferencial para el oscilador armónico $$\begin{equation*} x''+x = 0, \hspace{5ex} x(0)=1, \hspace{5ex}x'(0)=0, \tag{5} \end{ecuación*}$$ la solución que se $x(t) = \cos t$. El más simple diferencia relacionada con la ecuación es $$\begin{equation*} \frac{1}{h^2}(x_{n+2}-2x_{n+1}+x_n) + x_n = 0, \tag{6} \end{ecuación*}$$ con $x_0 = x_1 = 1$. (Mostramos cómo obtener (6) a partir de (5) a continuación). Hay técnicas estándar para la resolución de simples relaciones de recurrencia como (6) en forma cerrada. Nos encontramos $$\begin{equation*} x_n = \frac{1}{2} \left((1+i h)^{n}+(1 - i h)^{n}\right). \end{ecuación*}$$ Tenga en cuenta que $x_n$ es real desde $x_n^* = x_n$. Esta es la forma cerrada para la solución de un equipo que iba a encontrar la solución de (6) de forma iterativa. Recordemos que $n=t_n/h$. Para las pequeñas $h$, $x_n = \cos t_n + \frac{1}{2} h t_n \cos t_n + O(h^2)$, así que la solución numérica (6) la voluntad de aproximar $\cos t_n$$h t_n \ll 1$. En el límite de $h\to 0$, $x_n \to \cos t_n,$ como era de esperar.

Derivados y diferencias finitas

Moralmente, una diferencia ecuación es una versión discreta de la ecuación diferencial y una ecuación diferencial es una continua versión de la diferencia de la ecuación. El método de integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias es esencialmente la reescritura de una ecuación diferencial como una diferencia ecuación que luego se resuelven iterativamente por un ordenador. Este es un gran tema con muchos matices. El método también puede ser aplicado para no lineal y ecuaciones diferenciales parciales. A continuación damos una breve diccionario entre las diferencias finitas y operadores diferenciales.

Definir el operador de desplazamiento a la $E$ tal que $E x_n = x_{n+1}$. El operador diferencia $\Delta = E-1$ da $\Delta x_n = x_{n+1}-x_n$. Estos operadores están conectados a la diferenciación mediante la serie de Taylor. Deje $D x_n = x_n' = d x(t)/d t|_{t=t_n}$. Entonces $$x_{n+1} = E x_n = \sum_{k=0}^\infty \frac{h^k}{k!} D^k x_n = e^{h, D}x_n.$$ Por lo tanto, como un operador, $$E = e^{h D},$$ y así $$D = \frac{1}{h} \ln E = \frac{1}{h} \ln(1+\Delta) = \frac{1}{h}\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{\Delta^k}{k}.$$ (Creo que de estos operadores actúan sobre polinomios, posiblemente de orden muy alto.) Este formalismo nos da una manera de convertir cualquier ODA a diferencia de la ecuación y viceversa. Observe que las derivadas de orden mayor se puede aproximar por $D^k\approx (\Delta/h)^k$. Así, por ejemplo, $$x" = D^2 x \rightarrow \frac{1}{h^2}\Delta^2x_n = \frac{1}{h^2}\Delta(x_{n+1}-x_n) = \frac{1}{h^2} (x_{n+2}-2 x_{n+1} + x_n).$$

Cuando el uso de Euler método dejamos $D \approx \Delta/h$. Podríamos mantener los términos de orden superior en $\Delta$ para obtener la recursividad de las relaciones con tres o más términos. Es un signo de la no-trivial de la naturaleza de la materia que este simple cambio conduce a inestabilidades numéricas. Hay muchas denominado algoritmos que hacen mejorar y generalizar de Euler método, partiendo de las ideas esbozadas anteriormente. (Véase, por ejemplo, el método de Runge-Kutta métodos, una familia de algoritmos robustos utilizados para resolver numéricamente lineal y ecuaciones diferenciales no lineales.)

Answer 2

Sí, obviamente hay cierta correspondencia (soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales ordinarias son discretos sistemas dinámicos, muchas pruebas en la bifurcación de la teoría de los usos de tiempo continuo dinámica de sistemas para analizar discretos original de problemas, etc).

Sin embargo, el más profundo intento de construir una teoría que une a las ecuaciones en diferencias y diferenciales es la escala de tiempo de cálculo.

Answer 3

Un ejemplo:

Usted puede tomar la transformada de Laplace de una función discreta expresando el objetivo de la transformada de Laplace como el producto de una función continua y una secuencia de cambios en funciones delta y resumiendo: $\sum_{k=0}^\infty\int_{0}^\infty f(t)\delta(t - kT)e^{-st}dt$ = $\sum_{k=0}^\infty f(kT)e^{-skT}$, donde T es el período de muestreo.

El (unilateral) de la transformada en Z se define como:$\sum_{n=0}^{\infty}x[k]z^{-k}$, para un tiempo discreto de la señal de $x[k]$. Sustituyendo $z = e^{sT}$ en la fórmula para el discretizado la transformada de Laplace la transformada en Z se obtiene, y la s y la Z dominios están relacionados por $s = \frac{1}{T}\log(Z)$. Obviamente, esta es una transformación no lineal; puntos a la izquierda del eje imaginario en el plano s se asignan al interior del círculo unitario del plano Z, mientras que los puntos a la derecha del eje imaginario se asignan al exterior. Uno puede utilizar la transformación Bilineal, $s = \frac{2(z -1)}{T(z + 1)}$, como un primer orden de aproximación a $s = \frac{1}{T}\log(Z)$.

Así que es posible (aproximadamente) de transformar cualquier ecuación en el dominio de la correspondiente ecuación en el dominio Z. Esto es útil para derivar una ecuación en las diferencias, ya que se puede demostrar que la transformada en Z de un cambio, $Z(x[k - n])$, es igual a, simplemente, $z^{-n}X(z).$ Debido a esta propiedad es a menudo posible para ir fácilmente a partir de la transformada en Z de una expresión a una diferencia de la ecuación, simplemente mediante la inspección inversa potencias de Z y sus coeficientes en la ecuación. En resumen, si la ecuación diferencial es susceptible a la transformada de Laplace (es decir, el tiempo lineal invariante), puede ser bastante sencillo de usar este método para obtener una diferencia de la ecuación de la representación.