¿Es$1111111111111111111111111111111111111111111111111111111$ ($55$$1$ 's) un número compuesto?

Question

Este es un ejercicio de un libro de secuencias y series que estoy resolviendo.

Intenté manipular el número para facilitar el trabajo con:

PS

como el número de $$111...1 = \frac{1}9(999...) = \frac{1}9(10^{55} - 1)$ 's es $1$ .

El ejercicio estuvo bajo Progresión Geométrica y Media Geométrica. Sin embargo, no puedo pensar en una manera de resolver este problema utilizando GP.

¿Cómo procedo desde aquí?

Answer 1

Con algunos cálculos matemáticos "en su cabeza" muy rápidos, se trata de un número compuesto. Como 55 es 5 por 11, podemos tomar un número que es 11111111111 (once) y dividir el original por él usando la división larga estándar. Es fácil ver que el resultado será 100000000001000000000000000000000000000000001.

De manera similar, puedes ver de forma trivial que 11111 es un factor del número.

Answer 2

El número es compuesto.

Tenemos

$$\begin{align*} \underbrace{11\ldots111}_{55 \text{ times }} = \frac{1}{9} \cdot (10^{55} - 1) \\ = \frac{1}{9} \cdot ((10^{5})^{11} - 1) \\ \end{align*}$$

También, tenga en cuenta que $x^{m} - 1$ es divisible por $x - 1$. Aquí, se puede conectar $x = 10^{5}$ e $m = 11$. Como resultado, vemos que la cantidad es divisible por $99999$, lo que significa que el número debe ser divisible por $11111$ (y, por tanto, compuesto).

Answer 3

Más explícitamente, $$\begin{align*} \frac{10^{55} - 1}{9} &= \frac{(10^5)^{11} - 1}{9} \\ &= \frac{(10^5 - 1)(10^{50} + 10^{45} + 10^{40} + \cdots + 10 + 1)}{9} \\ &= \frac{(10 - 1)(10^4 + 10^3 + 10^2 + 10^1 + 1)(10^{50} + 10^{45} + \cdots + 1)}{9} \\ &= (10^4 + 10^3 + \cdots + 1)(10^{50} + 10^{45} + \cdots + 1). \end {align *}$$ El primer factor es $11111$ , que a su vez es $41 \cdot 271$ , y el segundo factor tiene como su factor primo más pequeño $1321$ .

Answer 4

Este número puede ser escrito como $$x=\sum_{k=1}^{55}10^{k-1}$$ i.e. it has the following form: $$x=\sum_{k=1}^{n}a^{k-1}$$

Tales números son siempre compuesto si $n$ es compuesto. Deje $n = pq$, donde $p,q\in\mathbb N$. A continuación, $$x=\sum_{k=1}^{pq}^{k-1} = \sum_{i=1}^p \sum_{m=1}^p^{q(l-1)+(m-1)}= \left(\sum_{i=1}^p^{q(l-1)}\right)\left(\sum_{m=1}^p^{(m-1)}\right)$$

Ya, $55$ es compuesto, se deduce que el $\sum_{k=1}^{55}10^{k-1}$ está compuesto así.

Simple ejemplo ilustrativo

La idea detrás de esta construcción, considere la posibilidad de un simple ejemplo de $$x = 111111=\sum_{k=1}^{6}10^{k-1}.$$ This number can be factorized using this construction (and the fact that $6=2\cdot3$) as $$x = 111000 + 111= 1001\cdot111$$ or $$x=110000 + 1100 + 11 = 10101\cdot11.$$

Conclusión General

Si un número natural $x$ puede ser representado con una cadena de número compuesto de repetición $1$s (independientemente de la base del sistema de numeración), a continuación, $x$ es compuesto.

Answer 5

La factorización prima del número es:

PS

obtenido por FactorInteger[] en Mathematica .