Estoy aprendiendo acerca de las integrales definidas y no encontró la fórmula para encontrar un promedio de una función sobre un intervalo dado:
$$\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f\left(x\right) dx$$
Si nos fijamos en la función promedio para un conjunto de números: $$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$$
Parece como si la integral es esencialmente una sumatoria de todos los valores de $a$ a $b$. Es correcto pensar de esta manera?
Es sin duda útil pensar en las integrales de esta manera, aunque no es estrictamente correcto. Una integral que se lleva a todas las pequeñas astillas de área debajo de una curva y los resume en una zona más grande - aunque no, por supuesto, un montón de tecnicismo es necesario pensar en ello de esta manera.
Hay una idea que se está oscurecida por su idea de una integral como una suma, sin embargo. En verdad, una suma es un tipo de integral y no viceversa - esto es algo contrario a la intuición, dado que las sumas son mucho más familiar a los objetos que los integrales, pero hay una elegante teoría conocida como la integración de Lebesgue, que básicamente hace que la integral de una herramienta que come dos piezas de información:
Empezamos con algunos de indexación de conjunto y de alguna manera, a "pesar" de piezas del conjunto.
Tenemos alguna función en ese conjunto.
Entonces, la integral de Lebesgue escupe la ponderación de la "suma" de esa función.
Una integral en el más sentido común que surge cuando usted dice, "tengo una función en los números reales, y quiero un intervalo de peso igual a su longitud". Una suma finita surge cuando usted dice "yo tengo una función que toma valores de $x_1,\ldots,x_n$ en el conjunto de índices $\{1,\ldots,n\}$. Cada índice se peso $1$" - y, por supuesto, usted puede cambiar los pesos para obtener una suma ponderada o usted puede extender la indexación establecida para cada número natural a obtener una suma infinita. Pero, en lo básico a tener en cuenta es que hay una forma más general, la idea de integral que lugares suma como parte de la teoría de la integración.
Si y no. En la medida en que la integral definida es una "suma", es un límite de una suma de Riemann ya que la "malla" va a cero. La "malla" es la parte más grande de una partición. Es decir, su dominio se divide en partes sobre las que toma el valor promedio de su función y se multiplica por el ancho de esa parte.
Normalmente es útil pensar en integrales definidas como sumas sobre desplazamientos "infinitesimales", pero estrictamente hablando, eso es incorrecto.
En cierto modo, sí. En ambos casos, lo que estos dos conceptos están expresando es la idea de cambio acumulado: usted puede pensar que el resultado final de un gran número de cambios a una cierta cantidad de interés que se han acumulado a lo largo del tiempo (o a lo largo de algunos dimensión, más en general), si los cambios son positivos o negativos.
En el caso de la suma, los cambios vienen en paquetes discretos - pensar, por ejemplo, regular retiros o depósitos de dinero en una cuenta bancaria, pero de diferentes cantidades. La suma a partir de la hora de inicio y una hora de finalización de interés agrega todos los paquetes juntos durante un determinado intervalo de interés y por lo tanto da que el cambio total, dicen que el monto total por el cual el dinero en tu cuenta ha cambiado a lo largo del año el valor de las transacciones.
En el caso de la integración, los cambios son constantes - creo que una suave, flujo continuo, como llenar un cubo con un chorro de agua de una manguera, mientras que el control de la velocidad de flujo con el grifo. La integral de la velocidad de flujo (¿cuánto abrir el grifo es, efectivamente, o proporcional a los mismos) de la hora de inicio hasta el final del tiempo, es igual a la cantidad total de agua que hemos añadido en virtud de que la variable de cambio. Por supuesto, en la integración también podemos tener cambios negativos, mientras que una manguera sólo puede añadir agua a un balde.
Y por otra parte, este señala el camino de la forma más habitual de definir la integral. Si la tasa de cambio de la cantidad de cambio sobre unidad de tiempo, por ejemplo, kilogramos de agua que sale de la manguera por minuto, por ejemplo - en un momento dado, $t$ es $f(t)$, entonces podemos aproximar la cantidad de cambio, es decir, el número de kilogramos entregados, a través de una adecuada: intervalo de tiempo pequeño $\Delta t$ por $f(t)\ \Delta t$. Por ejemplo, si $f(t)$ en algún punto dado en el tiempo es de 50 kilogramos por minuto, y el tiempo de paso es de 0.001 minutos, entonces eso significa que el cambio es de 0.05 kilogramos de agua añadida. Podemos añadir todos estos pequeños cambios a lo largo de un prolongado intervalo para estimar el resultado de la continua variación de cambio, por ejemplo, si añadimos los largo de 10 minutos, sin cambiar, lo vamos a conseguir 10,000 pasos de tiempo de los tiempos de 0.05 kg equivale a 500 kg de agua entregada. Por supuesto, esto es sólo el mismo que si se multiplican y, por tanto, en este caso en realidad exacta, pero eso es sólo porque no nos variar la velocidad de flujo, para la simplicidad. La exacta integral cuando hay una variable de la tasa de cambio resultados por tomar el límite: el "ideal" valor que el resultado de este proceso se aproxima cada vez mejor - si lo hace - cuando repetimos con $\Delta t$ es tomado cada vez más pequeños. Por lo tanto escribir
$$\int_{t_a}^{t_b} f(t)\ dt = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \sum_j f(t_j)\ \Delta t$$
donde $t_j = t_a + j(\Delta t)$ y j intervalos lo suficientemente alto como para que el punto final sea justo debajo de $t_b$. Aunque, para hacer la integral de un poco más de buen comportamiento para el más áspero de las funciones que los que podría obtener de un grifo, como la que vamos a considerar también donde los intervalos de tiempo son irregulares en lugar de sólo regular los pasos de $\Delta t$ , y esto conduce a la definición de libro en términos de "el límite de una partición".
De hecho, se puede ver $\int_a^bf(x)dx$ (1) como una infinita suma de rectángulos donde $f(x)dx$ es un rectángulo de anchura $dx$ y la altura de la $f(x)$. Esto corresponde a la integral de Riemann [0].
Sin embargo, esto es en realidad una interpretación (rectángulos) de un ejemplo, la fórmula (1)), utilizando una definición de una integral (integral de Riemann). Usted puede dar a otras formas, y usted puede mirar para otro integrales (Lebegues, Itô, etc) y trabajo en el interior de otras teorías, así como usted puede crear su propia definición y de su propia teoría.
Ejemplos e imágenes son importantes para conseguir una sensación de lo que es un objeto matemático puede ser, sin embargo, ir más lejos en matemáticas, se va a enriquecer su sentimiento interno de como agregar nuevas interpretaciones y ejemplos. Puede ver un ejemplo de una proyección; y lo que el matemático no es el de la proyección, pero el conjunto.
Otra de las pocas cosas importan demasiado. Usted escribió la fórmula (1), pero sin dar lo que se $a,b,x$ o de la teoría en la cual usted está trabajando. La mayoría del tiempo no determinado, y muchos matemáticos no ser específico acerca de lo que la teoría de que están trabajando en. La mayoría del tiempo estará en ZFC + de primer orden de la lógica.
Me gustaría compartir algunos otros puntos de vista. La forma que usted escribió (1) (donde $a,b$ son constantes y $x$ una variable) es también un valor. Se puede tener una dimensión o no.
Para $a,b\in \mathbb X$ e $x \to f(x): \mathbb X\to \mathbb X$ e si $\mathbb X$ es $\mathbb R$ a continuación, podemos ver $a,b,x,f(x)$ como la longitud y (1) como una superficie.
Usted puede tener $\mathbb X$ como un conjunto de vectores, y $a,b,f(x),x$ como vectores; por ejemplo,., cada vector representa como un conjunto de partículas (por ejemplo,., un gaz). A continuación, $\mathbb Z$ se $\mathbb R^n \forall n\in \mathbb N$ [2].
$\int _a^zf(x)dx$ es una función de $z$, y esto es definitivamente diferente de un valor. También puede ser una función de la $a,b,z$ cuando los tres son variables.
(1) podría ser un Itô integral [2], y se interpreta como una variable aleatoria, o la ruta de acceso de un proceso estocástico en un indeterminado dimensión.
(1) podría ser un conjunto de pruebas de una sentencia de $\mathbb X$ [3a, 3b]
Comentario/editar
Me gustaría hablar de un punto que es muy comúnmente encontrado. A menudo existe confusión entre la función: $f$ o $f(\cdot)$ y su valor en $x$: $f(x)$. En realidad no son la misma. Sin embargo, por lo general, si $x$ es una variable, vamos a ver, $f(x)$ como una función y si $x$ es una constante, $f(x)$ como un valor, pero esto es sólo una conveniencia. Una buena manera de ver que es ese $f(x)$ es el resultado de una proyección.
Verás la misma dualidad con las integrales: si puede ser una función o un valor. Escribimos la función, pero en realidad es "¿cómo podemos obtener el valor". Una integral sobre un dominio es también una proyección, sólo que es más explícito que el de $f(x)$. Cada vez que realizamos una suma o una proyección, perdemos de datos, y el resultado es tener tantos dimensión menos como parte integrante(s) de la (usualmente escribimos una $\int$ en lugar del número de $\int \int \int \ldots$). Verás que mucho de física cuántica; donde un integrante será una medida, y como cualquier medida, es una proyección. También te suelto datos como para obtener la medida, así como la pierdes "cómo obtener el valor de" (la integral como función), cuando se calcule sobre un dominio y obtener el valor (la integral como valor).
Tal vez el punto es que me animo a cualquiera a ser cuidadoso y crítico acerca de la enseñanza de las matemáticas, ya que a menudo son simplificado, interpretados; y la verdad me anime a una personal interpretación.
Otro ejemplo, es el desarrollado y factorizados formas de un polynom. Ponemos el signo de igualdad entre ellos, pero esto sólo significa que su valor es el mismo, pero ellos no son iguales. Un formulario tiene más información (los factorizados uno). Y todo el proceso de transformación es también información.
...
[0] https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Boltzmann_equation
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/It%C3%B4_calculus
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