de problemas,

Question

Tengo que resolver$x\,dx + xy^2\,dx + y\,dy + yx^2\,dy=0$

Dividiendo por$dx$ tenemos

$x + xy^2 + yy' + yy'x^2=0$

De donde,

PS

Dejemos que$$\frac{yy'}{1+y^2}+\frac{x}{1+x^2}=\frac{y\,dy}{1+y^2}+\frac{x\,dx}{1+x^2}=\\ =\frac{d(y^2+1)}{1+y^2}+\frac{d(x^2+1)}{1+x^2}= \frac{1}{2}d\ln(1+y^2)+\frac{1}{2} d\ln(1+x^2)=\frac{1}{2}d\ln(1+y^2)(1+x^2)=0$, por lo que nuestra ecuación se convierte en: $$ d \ ln c = 0 $$

Entonces, ¿qué debo hacer aquí, debo integrar o dividir por$c=(1+y^2)(1+x^2)$?

Si divido entre dx, obtengo la expresión$dx$ que tiene$2x+2yy'+2xy^2+2x^2yy'=0$,$x$ y$y$ y no me ayuda a llegar a ninguna parte.

Gracias por adelantado.

Answer 1

PS

Otra pista

$$d\ln c=0 \implies \ln(c)=K$ $$$x\,dx + xy^2\,dx + y\,dy + yx^2\,dy=0$ $ Es un diferencial exacto ...$$(x + xy^2)dx + (y + yx^2)dy=0$ $ $$ \begin{cases} f(x,y)=\int x+xy^2dx \\ f(x,y)=\int y+yx^2dy \end {casos} $$ por lo tanto$$\frac {\partial P}{\partial y}=\frac {\partial Q}{\partial x} \implies 2xy=2xy$ $

Answer 2

La DE es$$\frac12d(x^2)+\frac12d(y^2)+\frac12d(x^2y^2)=0$ $ Luego, la solución es$$\boxed{\frac12x^2+\frac12y^2+\frac12x^2y^2=c}$ $

Answer 3

$$x\,dx + xy^2\,dx + y\,dy + yx^2\,dy=0$ $$$(1+x^2)y\,dy =-(1+y^2)x\,dx $ $ Si$x^2,y^2\ne-1$, la ecuación anterior se puede escribir como (después de multiplicar ambos lados por$2$):$$\frac{2y}{1+y^2}\,dy =-\frac{2x}{1+x^2}\,dx $ $$$\int \frac{2y}{1+y^2}\,dy =-\int \frac{2x}{1+x^2}\,dx $ $ $$\ln (1+y^2)=-\ln (1+x^2)+\ln c=\ln \frac {c}{1+x^2}$ $ donde$c$ es una constante. Por lo tanto,$$1+y^2= \frac {c}{1+x^2}$ $$$y^2= \frac {c}{1+x^2}-1$ $ O:$$y^2+x^2+y^2x^2= C$$ where $ C $ también es una constante.

Answer 4

PS

Así que obtienes la solución$$d( \text{something})=0 \implies \text{something = constant}$$$\ln(1+y^2)(1+x^2) = C$ C $ es una constante arbitraria)

Answer 5

es$$-\frac{y'(x)}{\frac{1+y(x)^2}{y(x)}}=\frac{x}{1+x^2}$ $