Vamos
$$
C_n(a) = \left\{z\in\mathbb C\,\colon |z^n+n| = a\right\}.
$$
Hay un par de maneras para ver que $C_n(a)$ consiste de exactamente $n$ simple bucles cerrados, uno en cada sector
$$
\frac{2\pi k}{n} < \arg z < \frac{2\pi (k+1)}{n}, \qquad k=1,2,\ldots,n,
$$
al $0 < a < n$. El más sencillo (y menos general) es tener en cuenta que el círculo de $|w + n| = a$ $w$- avión no se cruza con el no-negativo eje real, por lo que en virtud de la conformación de asignación de $w=z^n$ tiene exactamente $n$ liso preimages, uno estrictamente dentro de cada sector.
El punto de $|w + n| = a$ con mayor módulo se encuentra en $w=-a-n$, por lo que el punto de $C_n(a)$ con mayor módulo se encuentra en el círculo de $|z| = (a+n)^{1/n}$. Por lo tanto si $0 \leq a < n$
$$
z \in C_n(a) \quad \Longrightarrow \quad |z| < (2n)^{1/n}.
$$
Por lo tanto, si $n \geq 3$ $z \in C_n(6^{1/3})$ hemos
$$
|z| < (2n)^{1/n} \leq 6^{1/3} = |z^n + n|
$$
desde $6^{1/3} < n$ y la función
$$
f(x) = (2x)^{1/x}
$$
es la disminución de $x \geq 3$.
Por el teorema de Rouché se puede concluir que la $z^n + z + n$ tiene precisamente como muchos ceros en el interior de cada componente de $C_n(6^{1/3})$ no $z^n+n$. Desde $6^{1/3} < n$ cada componente rodea exactamente un cero de $z^n+n$ y se encuentra estrictamente en el interior de uno de los sectores
$$
\frac{2\pi k}{n} < \arg z < \frac{2\pi (k+1)}{n}, \qquad k=1,2,\ldots,n.
$$
De ello se desprende que $z^n + z + n$ asimismo tiene exactamente un cero en cada uno de estos sectores.
Asumimos por encima de ese $n \geq 3$. Podemos abordar el caso al $n=2$ mediante la observación de que el discriminante de $z^2 + z + 2$$-7$, por lo que su ceros complejos conjugados, uno acostado en la mitad superior del plano y uno en la inferior.
Aparte: Este argumento puede ser adaptado para mostrar que, para $n \geq 3$, el polinomio $z^n+z+n$ tiene un cero en cada disco
$$
\left|z-\zeta_n^k n^{1/n}\right| \leq n^{1/n} - \left(n-(2n)^{1/n}\right)^{1/n} = O\left(\frac{1}{n^2}\right),
$$
$k = 1,2,\ldots,n$ donde $\zeta_n$ es la principal $n^\text{th}$ raíz de $-1$.
