Delimitación de una función de normas en el cubo unitario.

Question

Para un vector $v \in [0,1]^n$ $p > 1$ denotamos el p-norma de $v$ como: $||v||_p = (\sum_iv_i^p)^{\frac{1}{p}}$. donde $v_i$ son las entradas de $v$.

Defina los siguientes (raras) de la función $f:[0,1]^n \to \mathbb{R}$. $f(v) = \frac{||v||_2^{10}}{||v||_4^8}\exp(-\frac{||v||_2^4}{||v||_4^4})$.

Estoy buscando formas para limitar esta función. Fácil obligado a ver el uso del Titular de la desigualdad es que $f(v) \leq \frac{n}{e}$. La pregunta es, ¿podemos hacerlo mejor?

Creo que debe haber un límite, que es independiente de la dimensión. Pero me parece que no puede encontrar (o demostrar lo contrario). Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Estás en lo correcto --- de hecho Hay un límite independiente de la dimensión.

Observe que $f(tv)=t^2 f(v)$$t>0$, debido a la homogeneidad de las normas. Por consecuencia, $f(v)$ se maximiza cuando se $v\in[0,1]^n$ satisface $\max_i v_i = 1$. Así que supongamos $v$ tiene esta propiedad.

Debido a $0\le v_i\le 1$ por cada $i$ $v_i=1$ algunos $i$ hemos $$ 1\le \|v\|dimm_4^4 = \sum_i v_i^4 \le \sum_i v_i^2 = \|v\|_2^2. $$ Por lo tanto,$\|v\|_2^2/\|v\|_4^4 \ge 1$, y sigue $$ f(v) = \frac{\|v\|_2^{10}}{\|v\|dimm_4^8} \exp(- \frac{\|v\|_2^2}{\|v\|dimm_4^4}\|v\|_2^2) \le \frac{\|v\|_2^{10}}1 \exp(-\|v\|_2^2) \le \max_{x>0} x^5 \exp(-x) = \left(\frac 5e\right)^5. $$