Yo estaba trabajando en un problema diferente al de la siguiente pregunta que se me ocurrió: Por un polinomio $f\in K[x]$, hay siempre una constante $c\in K$ tal que $f+c$ es irreducible?
Obviamente esto es falso para algunos campos, considere la posibilidad de $x^2$ más de $\mathbb{F}_2$, $x_2$ factores como el no $x^2+1$. En general, debe ser falsa para finito campos como $x^q+c$ tiene una raíz en $c$ todos los $c$$\mathbb{F}_q$. O tomar cualquier algebraicamente cerrado de campo, trivialmente esto no puede ser hecho por un polinomio lineal ya que todos no lineal de los polinomios son reducibles. Si $K=\mathbb{R}$, entonces esto también es claramente falsa para cualquier polinomio de grado mayor que 2, pero es cierto para polinomios de grado 2, puesto que $x^2+ax+b$ tiene discriminante $a^2-4b$$b>a^2/4$, el polinomio es irreducible.
Así que mi pregunta en realidad es la siguiente: ¿hay alguno de los campos para los que esto es cierto para todos los polinomios? También es verdad en todos los campos en el sentido restringido? I. e. como en $\mathbb{R}$, válido para todos los polinomios de mayor grado $n$ y sólo es cierto para estos polinomios. Tenga en cuenta que $n$ puede ser 1. También podemos calcular el $n$?
Supongo que lo que estoy preguntando es cuando puedo añadir una constante para hacer un polinomio irreducible? También es interesante el caso de al $K$ es reemplazado con un anillo.
No tengo idea de cómo empezar esta pregunta, se agradecería alguna sugerencia. Yo prefiero una buena indicación de la dirección a seguir si sería razonable para resolver este problema con mi formación (pregrado álgebra/teoría de números/básicos de la teoría de galois/un análisis muy poco) en lugar de una solución completa, pero se agradece.
Debo mencionar que me hizo google y no encontré nada, pero si encuentras algo, que también se agradece. Gracias, espero que no me estoy perdiendo algo obvio.
