Rango de Mordell-Weil en superficies elípticas

Question

Supongamos que una superficie elíptica lisa K3 $X$ definido sobre un campo numérico $k$ tiene rango aritmético de Picard $r$ y asumir que está equipado con un $k$ fibrado sobre $\mathbb{P}^1$ que tiene una sección sobre $k$ es decir $f:X\to \mathbb{P}^1$ es un mapa dominante con la fibra genérica $f^{-1}(\eta)$ siendo una curva elíptica. ¿Existe una relación entre el rango de Mordell-Weil de la fibra genérica y $r$ ?

Answer 1

Creo que está buscando la fórmula Shioda-Tate. Véase el corolario VII.2.4 en la página 70 de la obra de Miranda " La teoría básica de las superficies elípticas ", o aquí .

Nota: dejar $k$ sea un campo y que $C/k$ sea una curva proyectiva suave definida sobre el campo $k$ y tiene el género $g$ . El campo de funciones de $C/k$ será denotado por $K=k(C)$ . Una superficie elíptica $\mathcal{E}$ sobre la curva $C$ es, por definición, una variedad proyectiva bidimensional junto con con ( i ) un morfismo $\pi: \mathcal{E} \to C$ tal que para todos los puntos excepto puntos finitos $t\in C(\overline{k})$ la fibra $\mathcal{E}_t=\pi^{-1}(t)$ es una curva no singular de género $1$ y ( ii ) una sección para $\pi$ (el sección cero ) $\sigma_0: C \to \mathcal{E}$ . Con esta definición, la fibra genérica de $\pi$ , $E/K$ puede considerarse como una curva elíptica sobre el campo $K$ .