¿De cuántas formas se puede disponer el cubo de manera que la cara roja sea adyacente a la cara azul?

Question

Cada cara de un cubo puede estar pintada de uno de seis colores y el color de cada cara debe ser diferente. Supongamos que se elige una coloración uniformemente al azar del conjunto de coloraciones permitidas. ¿De cuántas maneras se puede disponer el cubo de forma que la cara roja sea adyacente a la azul, suponiendo que el rojo y el azul estén entre los seis colores permitidos? (Teniendo en cuenta la rotación, A=rojo B=azul es lo mismo que A=azul, B=rojo, y cuenta como un caso)

Me estoy confundiendo, con 4, 10 y 24 como posibles respuestas.

4: Como el cubo puede girar, supongamos que B está fijado a la cara frontal del cubo. Por lo tanto, hay 4 formas posibles de orientar R alrededor de B. Como hay rotaciones, es redundante multiplicar por las 6 caras del cubo. Por tanto, 4 formas.

10: Si trazo el mapa del cubo dibujando 4 casillas horizontales y 1 casilla abajo y 1 casilla arriba, y asigno B a cada cara, cuento el número de formas en que R puede estar junto a B para cada casilla, y llego a 10.

24: Concepto similar al 4, sólo que multiplicado por 6.

Me estoy confundiendo mucho y me ayudaría mucho si alguien pudiera aclararme esto, ya que soy muy malo para la visualización espacial.

Answer 1

Si el rojo y el azul están uno al lado del otro, entonces es posible orientar el cubo de manera que el rojo esté en la parte superior y el azul en la cara frontal. A partir de ahí, todos los $4! = 24$ Las disposiciones de los cuatro colores restantes dan una coloración única al cubo (hasta la rotación del cubo).

Answer 2

Puedes elegir $4$ colores opuestos al rojo y luego $3$ colores opuestos al azul. Quedan dos colores, que se pueden colocar en $2$ en los dos campos opuestos restantes. De ello se deduce que hay $4\cdot3\cdot 2=24$ diferentes cubos que se pueden formar, dados los dos campos rojo y azul vecinos.

Answer 3

4: Como el cubo puede girar, supongamos que B está fijado a la cara frontal del cubo. Por lo tanto, hay 4 formas posibles de orientar R alrededor de B. Como hay rotaciones, es redundante multiplicar por las 6 caras del cubo. Por tanto, 4 formas.

1) Eso no dice nada sobre los demás colores; sólo que el rojo está por encima, por debajo, a la izquierda o a la derecha del azul. 2) Porque son rotaciones ELLOS son redundantes. Se puede contar esto como $1$ manera. Pero no tienes que averiguar las diferentes formas de poner los cuatro colores restantes.

10: Si trazo el mapa del cubo dibujando 4 casillas horizontales y 1 casilla abajo y 1 casilla arriba, y asigno B a cada cara, cuento el número de formas en que R puede estar junto a B para cada casilla, y llego a 10.

Huh????????

24: Concepto similar al 4, sólo que multiplicado por 6.

Casualmente esa es la respuesta correcta pero para un significado totalmente equivocado.

\====

La rotación no importa. Así que siempre puedes colocar la cara Azul hacia ti. Hay cuatro caras adyacentes a la Azul y una opuesta. Si la cara opuesta es la Roja es una forma de no hacerlo. Todas las demás formas de pintar el cubo tienen la cara roja adyacente.

PERO como la rotación no importa esas cuatro caras se consideran iguales. Así que cualquier cara que sea roja podemos rotarla hacia arriba.

Pero ahora hemos girado el cubo para que la cara roja quede arriba. Que no podemos rotarlo de ninguna manera y mantener esas dos caras la en la misma orientación.

Hay cuatro caras que hay que pintar. Llámalas A,B,C,D. Hay cuatro opciones de color para $A$ . Una vez que $A$ se elige hay $3$ a la izquierda para $B$ y así uno. Así que hay $4*3*2*1 = 24$ para hacer esto.

...

Quizá merezca la pena calcular cuántas formas hay en total de pintar el cubo.

O bien el rojo es adyacente al azul (y hay $24$ formas de hacerlo) o está frente al azul. Si es opuesta, las cuatro caras restantes son adyacentes a la azul y a la roja y el cubo puede girarse para que cualquiera de ellas esté encima.

Uno de esos cuatro lados debe ser de color 3. Pinta uno de ellos de color 3 y gíralo para que el color 3 esté arriba, el rojo esté atrás y el azul esté de cara a ti. El cubo no se puede girar más. Hay $3$ caras a la izquierda. Llámalos $A,B,C$ . Hay $3$ opciones de color para la cara A, y después $2$ para la cara $B$ y así sucesivamente. Así que hay $3*2*1 = 6$ maneras de tener la cara roja opuesta a la cara azul.

Así que hay $24+6 = 30$ formas de dolor el cubo de las cuales $\frac 45$ de ellos tienen el Rojo adyacente al Azul.

Answer 4

El número de caminos para llegar a un resultado depende de cuántos caminos se pueden tomar, es decir, tienes que definir el resultado (éxito) en un espacio de eventos.

En este caso la redacción sugiere que se está considerando el espacio de todos los cubos de color que no son equivalentes al girar.
Como se explica en este post relacionado dicho espacio está formado por $30$ diferentes configuraciones.

En ese espacio, siempre puedes orientar el cubo para tener, por ejemplo, la cara R frente a ti.
Entonces sólo hay una forma de obtener B no adyacente a R: estar en la cara posterior.
Para los otros colores, ya que puedes girar el cubo alrededor del eje RB, asume fijar el color de la cara superior (por ejemplo, amarillo).
La opción que te queda es cómo colocar los otros tres colores, es decir, cómo permutarlos, es decir $6$ formas.
De hecho, si renunciamos al requisito de adyacencia, tenemos $5$ formas de fijar el color de la cara posterior, ya que un cubo R delante - B detrás no puede ser girado en un R delante - no B detrás. Para las caras laterales seguimos teniendo $6$ opciones como las anteriores, y así $30$ en total.

Así, $30-6=24$ son las formas de poner R y B adyacente , que es su tercer resultado.

Si cortas el cubo para obtener una configuración de cuadrados como dices, entonces si tienes en cuenta adecuadamente las adyacencias y las rotaciones todavía obtendrás $24$ de $30$ . Si consigues $10$ (no sé exactamente bajo qué hipotesis) algo va mal.