Dadas dos ecuaciones $(xax)^3 = bx$ y $x^2a = (xa)^{-1}$ en un grupo no abeliano, resolver para $x$ .

Question

Esto es para un grupo básico no conmutativo.

Mis pasos:

$(xax)^3 = bx$

$xaxxaxxax = bx$

$xax^2ax^2ax = bx$

$xax^2ax^2a = b$

$x^2a = (xax^2a)^{-1}b$

Ahora, sustituyendo $x^2a$ en la segunda ecuación:

$(xax^2a)^{-1}b = (xa)^{-1}$

$b = (xax^2a)(xa)^{-1} $

$b = (xax^2a)(a^{-1}x^{-1})$

$b = xax$

Volvamos a la primera ecuación:

$b^3 = bx$

$b^2 = x$

Al parecer, esta no es la respuesta correcta según mi hoja de respuestas.

¿Estoy cometiendo un error en alguna parte?

Answer 1

La solución en la hoja de respuestas es equivalente; tu solución está bien.

Marcar el trabajo línea por línea. . .

Mis pasos:

$(xax)^3 = bx$ $\color{red}{\quad\checkmark\text{Def}}$

$xaxxaxxax = bx$ $\color{red}{\quad\checkmark\text{Def}}$

$xax^2ax^2ax = bx$$ |color{rojo}{cuadro}{marca}{texto}{revestido}}

$xax^2ax^2a = b$ $\color{red}{\quad\checkmark (\times x^{-1})}$

$x^2a = (xax^2a)^{-1}b$ $\color{red}{\quad\checkmark (\times (xax^2a)^{-1})}$

Ahora, sustituyendo $x^2a$ en la segunda ecuación:

$(xax^2a)^{-1}b = (xa)^{-1}$ $\color{red}{\quad\checkmark (\text{Sub})}$

$b = (xax^2a)(xa)^{-1} $ $\color{red}{\quad\checkmark (\times (xax^2a))}$

$b = (xax^2a)(a^{-1}x^{-1})$ $\color{red}{\quad\checkmark (\text{Use of 'inverse of product' lemma})}$

$b = xax$ $\color{red}{\quad\checkmark (\text{Use of inverses})}$

Volvamos a la primera ecuación:

$b^3 = bx$ $\color{red}{\quad\checkmark (\text{Sub})}$

$b^2 = x$ $\color{red}{\quad\checkmark (\times b^{-1})}$

Answer 2

Usted tiene $xaxxaxxax=bx$ Así que $$ xa(x^2a)(x^2a)=b $$ Ahora $a(x^2a)=a(xa)^{-1}=aa^{-1}x^{-1}=x^{-1}$ y por lo tanto $$ b=xx^{-1}a^{-1}x^{-1}=a^{-1}x^{-1} $$ de donde $x^{-1}=ab$ y $x=(ab)^{-1}$ .

¿Podemos decir que $b^2=(ab)^{-1}$ ? Esto equivale a $b^3=a^{-1}$ o, como se demostró que $b^3=bx$ , a $bx=a^{-1}$ Lo cual es cierto.

Answer 3

1. Lo siguiente es la solución en la imagen adjunta del enlace. solución Imagen sobre papel

Forma la solución anterior x = b-1a-1. sustituyendo esto en la segunda ecuación dada. a = b-3. que la solución b^2 se puede escribir de infinitas maneras si se incluye a como b3ab2, b6a2b2 etc etc.