Medir la desigualdad

Question

Sea$\lbrace I_1,\ldots I_k \rbrace$ una colección de intervalos limitados. Elija$I_1$ para ser de los más grandes. Indica$T=\lbrace i\in \lbrace 1,\ldots ,k\rbrace \mid (I_1 \cap I_i)\not= \emptyset\rbrace $.

Quiero saber por qué sucede que si$T=\lbrace1,\ldots ,k\rbrace$ entonces$\mu(I_1)\ge\frac{1}{3}\mu(\cup_{i=1} ^k I_i)$.

Answer 1

Si$I_1 = [a-r,a+r]$, considere$I_1' = [a-3r,a+3r]$ y tenga en cuenta que$\mu(I_1') = 3\mu(I_1)$.

Usando la definición de$T$ y el hecho de que$I_1$ es el intervalo más grande, puede mostrar que$I_i \subset I_1'$ para cada$i \in T$.

Answer 2

Si todas las intersecciones no están vacías, los intervalos tienen al menos un punto en común con$I_1$.

Ya que$I_1$ es el intervalo más largo, puede decir que la unión está definitivamente cubierta por un intervalo de longitud$3\mu(I_1)$ y, por lo tanto, obtiene el resultado por invarianza de la traducción, monotonicidad y subaditividad de la medida de Lebesgue. .