Coincidencia de la noción clásica de cobertura en topología clásica y tamiz de cubierta en topología grothendieck

Question

Deje que$X$ sea un espacio topológico,$\mathcal{O}(X)$ de la categoría habitual de los conjuntos abiertos de$X$ y$(\mathcal{O}(X),J)$ de cualquier sitio.

Es necesario que tengamos para cada conjunto abierto U y para cada tamiz en$J(U)$,$(U_i \rightarrow U)_i$, la unión$U \subseteq \bigcup U_i $ o podemos tener para una cierta topología grothendieck el reverso en algunos casos (subconjunto estricto $\bigcup U_i \subsetneqq U) $? (y por qué, por supuesto, sí o no)

Gracias

(pregunta extremadamente básica que sé)

Answer 1

Para cualquier orden parcial vistos como una categoría, los tamices son sólo hacia abajo cerrada por subconjuntos. Usted puede llamar a cualquier tamiz desea cubrir con un colador. La única cosa que sucede es que si llamas a un tamiz de una cubierta del tamiz, otros pueden necesitar ser considerado cubrir los tamices así como para cumplir con el cierre de las condiciones de una topología de Grothendieck.

Por definición, siempre ha $\bigcup_i U_i \subseteq U$ donde $U_i\to U$, es decir,$U_i \subseteq U$, pero que sin duda puede elegir un tamiz tal que $\bigcup_i U_i \neq U$. Dicho esto, cualquier topología de Grothendieck (en un espacio topológico) que contienen un cubriendo tamiz no ser subcanonical.

Answer 2

No, no hay nada que obligue a$U_i$ a cubrir$U$ como conjuntos. Por ejemplo, si define$J(U)$ para que conste de todos los tamices en$U$ para cada$U$, esta es una topología de Grothendieck.