Es un ejercicio sencillo demostrar que dos matrices similares tienen los mismos valores y vectores propios (mi forma favorita es observar que representan la misma transformación lineal en bases diferentes).
Sin embargo, para demostrar que dos matrices tienen el mismo polinomio característico no basta con demostrar que tienen los mismos valores y vectores propios, sino que hay que decir algo inteligente sobre las multiplicidades algebraicas de los valores propios. Además, es posible que trabajemos sobre un campo que no es algebraicamente cerrado y, por tanto, simplemente "no tenemos" todos los valores propios. Esto puede superarse, por supuesto, trabajando en el cierre algebraico del campo, pero complica la explicación.
Busco una prueba que sea sencilla y autónoma en la medida de lo posible (el objetivo es escribir un artículo expositivo sobre el tema, así que lo más importante es la claridad, no la eficacia).
3 votos
¿Cómo se demuestra que dos matrices similares tienen los mismos vectores propios?
0 votos
Tomemos la matriz $A=diag(2,1)$ . Entonces esto es similar a $B=\left[\begin{array} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right] diag(2,1) \left[\begin{array} 1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array} 2 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ . Ahora, $\left[\begin{array} 0 \\ 1 \end{array}\right]$ es un vector propio de $A$ pero no de $B$ .
0 votos
Lo siento, me he hecho un lío con la escritura en látex...
2 votos
Lo que quiero decir es que matrices similares no tienen en general vectores propios idénticos.
0 votos
$A = [2 \, \, \, 0; 0 \, \, \, 1]$ , $T = [1\, \, \, 1; 0 \, \, \, 1]$ , $B=T A T^{-1}$ . Compruebe que $e_2=[0;1]$ es un vector propio de $A$ pero no de $B$ .
1 votos
Lo correcto es que dos matrices similares pueden considerarse como representaciones de la misma transformación lineal en bases diferentes, y entonces sus vectores propios son "iguales" en el sentido de que son dos representaciones (en bases diferentes) de las coordenadas de los vectores propios de la transformación.
0 votos
En dimensiones finitas, las matrices similares son isoespectrales. Sus vectores propios son no lo mismo. Una matriz y sus vectores propios se someten mutuamente a una transformación de base simultáneamente al pasar a la matriz semejante.
0 votos
¿Existe tal vez una prueba elegante en sentido contrario: que la igualdad de los polinomios característicos implica la existencia de matriz de semejanza?