¿Cómo se puede encontrar este límite:$$\lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{(3n)!^\frac{1}{n}}$ $
Hospitales está fuera de cuestión, en este caso, porque n! No es una función diferenciable.
Respuestas
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sranthrop
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Considerar el poder de la serie $$ \sum_{n=0}^\infty a_nz^n,\qquad\mbox{donde}\quad a_n:=\frac{n^{3n}}{(3n)!}, $$ y deje $R$ ser el radio de convergencia. Entonces $$ \frac{1}{R}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^3}{(3n)!^\frac{1}{n}}. $$ Ahora, el primer límite es fácil de calcular. Tenemos $$ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{3n+3}(3n)!}{(3n+3)!n^{3n}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3n}\cdot\frac{(n+1)^3}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}, $$ y el primer factor tiende a $e^3$ y el segundo a$\frac{1}{27}$$n\to\infty$, lo que conduce a la $$ \lim_{n\to\infty}\frac{n^3}{(3n)!^\frac{1}{n}}=\frac{e^3}{27}. $$
shaswata
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$$\lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{(3n)!^\frac{1}{n}}$ $$$=exp[\frac{3n\ln(3)-\ln(3n)-\ln(3n-1)-\cdots-\ln(1)}{n}]$ $$$=exp[\frac{-1}{n}\left(\sum\limits_{i=1}^{n} \ln(\frac{i}{n})\right)]$ $$$=exp[-\int\limits_{0}^{3}ln(x)\,dx]=exp[-3\ln(3)+\int\limits_{0}^{ln(3)}e^{x}\, dx]$ $$$=exp[-3\ln(3)+3]=\frac{e^{3}}{27}$ $
linguo
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$A=\lim_{n\to\infty}\frac{n^3}{(3n)!^{1/n}}$ es el cubo de$B=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{(3n)!^{1/3n}}$, que es un tercio de$C=\lim_{n\to\infty}\frac{3n}{(3n)!^{1/3n}}$, que es igual a$D=\lim_{n\to\infty}\frac n{n!^{1/n}}$ si este último existe.
El logaritmo de este último es$E=\lim_{n\to\infty}\log n-\frac1n\Sigma_{i=1}^n\log i$.
Ahora, el derivado de$x\log x-x$ es$\log x$, así que$n\log n-n+1=\int_1^n\log x\ge\int_1^n\log\lfloor x\rfloor=\Sigma_{i=1}^{n-1}\log i$, y de manera similar$n\log n-n+1=\int_1^n\log x\le\int_1^n\log\lceil x\rceil=\Sigma_{i=1}^n\log i$.
Por lo tanto,$n\log n-n+1\le\Sigma_{i=1}^n\log i\le(n+1)\log n-n+1$, así que$1-\frac1n-\frac{\log n}n\le\log n-\frac1n\Sigma_{i=1}^n\log i\le 1-\frac 1n$.
Esto muestra que $E=1$. Como$E$ se definió como$\log D$,$C$ era igual a$D$,$B$ era un tercio de$C$ y$A$ era el cubo de$B$, sigue que$A=\frac{e^3}{27}$.
