Una matriz de Vandermonde: $\left(\begin{array}{ccc} 1 & \alpha_{0} & \dots & \alpha_{0}^{n} \\ 1 & \alpha_{1} & \dots & \alpha_{1}^{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \alpha_{2n} & \dots & \alpha_{2n}^{n} \end{array}\right)$ tiene rango completo $n+1$ , siempre y cuando $\alpha_{i}\neq \alpha_{j}$ para al $i\neq j$ .
¿Podemos decir que una matriz de la forma $\left(\begin{array}{cccccc} 1 & \alpha_{0} & \dots & \alpha_{0}^{n} & v_{0} & v_{0}\alpha_{0} & \dots & v_{0}\alpha_{0}^{n} \\ 1 & \alpha_{1} & \dots & \alpha_{1}^{n} & v_{1} & v_{1} \alpha_{1} & \dots & v_{1}\alpha_{1}^{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \alpha_{2n} & \dots & \alpha_{2n}^{n} & v_{2n} & v_{2n} \alpha_{2n} & \dots & v_{2n}\alpha_{2n}^{n} \end{array}\right)$
donde $v_{0}, \dots, v_{2n}$ son constantes, $v_{i}\neq v_{j}$ .
seguirá teniendo rango $(2n+1)$ ? ¿Hay más restricciones en $\{v_{i}\}$ ¿es necesario asumirlo?
Sé que si consideramos la matriz anterior como $(V | M)$ où $V$ es la matriz inicial de Vandermonde, tanto $V$ y $M$ tendrá rango $(2n+1)$ .
Editar: Lo siento, quise decir rango de fila en todos los casos. El contexto es que quiero utilizar la matriz $(V|M)$ para describir una solución para $2n+1$ variables $\{x_{0}, \dots, x_{2n}\}$ . Si este vector variable es $\vec{x}$ , entonces quiero resolver para $\vec{x}$ , en: $(V|M)\cdot \vec{x} = 0$ .
Por eso quería saber si las filas de $(V|M)$ especifican restricciones linealmente independientes en $\{x_{i}\}$ .
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El rango es el mismo que el número de columnas linealmente independientes. Añadir columnas no cambiará eso. Esto es cierto independientemente del $v_i$ .
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Su primera afirmación de que el $(2n+1)\times(n+1)$ matriz retangular "tiene rango completo $(2n+1)$ , siempre y cuando $\alpha_i\not=\alpha_j$ " ya es un error. Sí, esa matriz es de rango completo, pero su rango es $n+1$ no $2n+1$ .