¿Es cada subconjunto de un conjunto un conjunto?

Question

En $\mathsf{ZF}$ tenemos el Poder Establecido Axioma: si $x$ es un conjunto, entonces $\mathcal P(x)$ es un conjunto (véase aquí para una buena lista de los axiomas de la $\mathsf{ZF}$). Ayer me estaba explicando a algunos estudiantes de la noción de pares ordenados a la Kuratowski: $(a,b):=\bigl\{\{a,b\},\{a\}\bigr\}$. Entonces me argumentaron que, dado que los conjuntos de $A$ $B$ y elementos $a\in A,b\in B$, uno ha $(a,b)\in\mathcal P\bigl(\mathcal P(A\cup B)\bigr)$. Y entonces me quedé atascado: quería decir "por lo $A\times B\subseteq\mathcal P\bigl(\mathcal P(A\cup B)\bigr)$, por lo tanto $A\times B$ es un conjunto." Pero algo está mal aquí: tenemos sólo escribir "$X\subseteq Y$" cuando sabemos de antemano que $X$ $Y$ son de hecho los conjuntos! Esto me llevó a pedir a estas dos preguntas:

1) yo pensaba acerca de la definición de $A\times B$ utilizando el Esquema de Comprensión, a través de

$$Q(x,A,B): \exists a\,\exists b\bigl[a\in A\,\wedge\,b\in B\,\wedge\,\varphi(x,a,b)\bigr]\,,$$

ser $\varphi(x,a,b)$ la fórmula de la definición de los par $(a,b)$ como un conjunto. Estoy en lo cierto?

2) es cierto, en $\mathsf{ZF}$, que no todo subconjunto de un conjunto es de hecho un conjunto?

Answer 1

1) Sí, mediante la Comprensión de Esquema puede definir $A\times B$ como el conjunto $$A \times B := \left\{ x \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B)) \ \mid \ \psi[x,A,B] \right\} $$ donde $\psi[x,A,B]$ es la fórmula $$ \existe un \existe b (a \in A \de la tierra a \in B \de la tierra x = \left\{\left\{a,b\right\},\left\{b\right\}\right\}) $$ En primer lugar, usted sabe que la puesta en $\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))$ existe después de que usted ha construido utilizando el Powerset axioma y usted sabe que este conjunto containns todos los pares ordenados. A continuación, la Comprensión Axioma Esquema afirma que todas las cosas que se puede extraer de los conjuntos existentes, con fórmulas de primer orden se establece que existen. Con que se puede afirmar que la estructura del conjunto de $A\times B$ existe y tiene el derecho propiedades que desea que contenga sólo los pares ordenados por la forma en que hemos construido. No hay necesidad de hablar de "subconjunto" en cualquier lugar. De hecho subconjunto de la notación $X \subseteq Y$ es sólo abreviatura de la fórmula $\phi[X,Y]$

$$ \forall un (a \X \implica un \Y) $$

2) para decir que algo es un subconjunto de un conjunto que tiene que estar en el primer lugar. $ZF$ sólo funciona con los juegos y nada más. Si algo no es "un conjunto" no hay manera de que incluso se refieren a ella en $ZF$ debido a que el primer fin de fórmulas de la meta-lenguaje cuantificar únicamente sobre los conjuntos. Esto significa que incluso si ignoramos el Poder Establecido axioma con el que se puede mostrar que todos los subconjuntos de un conjunto existente se establece que existen, no podemos expresar la afirmación de que existe un subconjunto de un conjunto que no es "un conjunto".

Answer 2

Deje $A,B$ ser conjuntos.

Entonces por Par , existe un conjunto $C$$\forall x\colon x\in C\leftrightarrow x=A\lor x=B$. (El Emparejamiento axioma puede ser expulsado por el uso de Infinito y de Poder y de Reemplazo, pero me gusta usar por comodidad).

Luego, por la Unión, existe un conjunto $D$$\forall x\colon x\in D\leftrightarrow\exists y\colon x\in y\land y\in C$.

A continuación, por el Poder, existe un conjunto $E$$\forall x\colon x\in E\leftrightarrow\forall y\colon y\in x\to y\in D$.

A continuación, por el Poder, existe un conjunto $F$$\forall x\colon x\in F\leftrightarrow\forall y\colon y\in x\to y\in E$.

A continuación, por la Comprensión, existe un conjunto $G$ con $$\begin{align}\forall x\colon x\in G\leftrightarrow {}&{}x\in F\\&\land\exists a\exists b\exists u\exists v\forall t\colon\\ &\qquad\ a\in A\\ &\quad\land\ b\in B\\ &\quad\land\ t\in u\leftrightarrow t=a\\ &\quad\land\ t\in v\leftrightarrow (t=a\lor t=b)\\ &\quad\land\ t\in x\leftrightarrow (t=u\lor t=v)\end{align}$$ es un conjunto por Comprensión.

Acerca de $G$, estamos dispuestos a demostrar que cada uno de sus elementos es un Kuratowski par de un elemento de $A$ y un elemento de $B$ (de hecho, la complicada fórmula de los estados, precisamente, lo que podría ser abreviado como $x=\{\{a\},\{a,b\}\}$)

Por otro lado, vamos a $x=\{\{a\},\{a,b\}\}$ ser un par de Kuratowski un elemento de $A$ y un elemento de $B$. Podemos encontrar directamente que $A\in C$, por lo tanto $a\in D$. Asimismo,$B\in C$$b\in D$. Por Par, el conjunto escribimos como $\{a\}$ (es decir, un conjunto $X$$\forall z\colon z\in X\leftrightarrow z=a$) existe. Como $a\in D$, llegamos a la conclusión de $\{a\}\in E$. Del mismo modo, llegamos a la conclusión de que $\{a,b\}\in E$$a\in D$$b\in D$. Del mismo modo, llegamos a la conclusión de que $\{\{a\},\{a,b\}\}\in F$$\{a\}\in E$$\{a,b\}\in E$. Finalmente, se verifique la condición de $G$ ( $u=\{a\}$ $v=\{a,b\}$ , por supuesto) y ver que $x\in G$.

Por lo tanto, $G$ es precisamente el conjunto de todos los Kuratoski pares de elementos de $A$ y elementos de $B$, en el corto $G=A\times B$.

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Mientras que el anterior demuestra que todo funciona muy bien, hay alguna manera en que tu duda se justifica: Supongamos que tenemos un conjunto de $X$ y un mágico oracle que nos da lo que podría llamarse una sub-colección de $Y$$X$. Eso hace que $Y$ un elemento de $\mathcal P(X)$? Bueno, hace como mucho $Y$ es un conjunto, pero esto puede no ser el caso. En principio, puede ocurrir que los $Y$ es "indescriptible" y el powerset sólo contiene todos los "descriptible" subconjuntos. Pero, de nuevo, $Y$ no es el sujeto de la teoría de conjuntos , porque de no ser conjunto. El subconjunto relación, a continuación, sólo existe en una meta teoría ... y, afortunadamente, no hay tal cosa como un mágico oracle.

Answer 3

Si aceptas eso

1. los elementos de conjuntos son conjuntos (en ZF,$\in$ es una relación entre conjuntos ),

2. y que$\mathcal P(X)$ es un conjunto cuando$X$ es,

luego debe concluir que los elementos de$\mathcal P(X)$ (es decir, los subconjuntos de$X$) son conjuntos.

Answer 4

La respuesta más simple a su pregunta es la siguiente. Supongamos que$x$ es un conjunto y$y \subseteq x$. Entonces$y \in \mathcal{P}(x)$, y$\mathcal{P}(x)$ es un conjunto del Power Set Axiom. Cada elemento de un conjunto es un conjunto, por lo que$y$ es un conjunto.

Si tiene sospechas sobre la última declaración (cada elemento de un conjunto es un conjunto), eso está bien fundado; por lo tanto, se debe hacer trabajo adicional / puesta a tierra para que esto tenga un sentido riguroso.