Cómo mostrar que la matriz de solución en una ecuación diferencial matricial tiene un determinante distinto de cero

Question

Tengo el siguiente problema:

Consideremos la ecuación diferencial matricial.

$$\frac{d}{dt}X(t)=A(t)X(t)$$$ $X(t_0)=X_0$ $

Demuestre que si$\det(X_0)\neq0$, entonces$\det(X(t))\neq0$ para todos$t\ge t_0$.

He estado pensando en esto por un tiempo, pero aún no he progresado, así que me pregunto si me falta una prueba obvia o si en realidad no es muy trivial. Cualquier ayuda es apreciada. ¡Gracias!

Answer 1

La propiedad crucial para su resultado es

$$\frac{d}{dt}\left[\det X(t)\right]=tr[a(t)]\det[X(t)]\qquad \qquad\qquad(1)$$

a partir de la cual uno obtiene directamente $$\det X(t)=\exp\left(\int_{t_0}^t{tr[A(s)]ds}\right)\det(X_0)$$ Por lo tanto si $\det(X_0)\neq 0$ $\det(X(t))\neq 0$ todos los $t\geq t_0$.

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La prueba de (1): Deje $c_{ij}(t)$ ser el cofactor de la entrada $X_{ij}(t)$ de la matriz $X(t)$. Si $Ad(t)$ es el adjunto de la matriz de $X(t)$ $$X(t) Ad(t) =\det(X(t))\mathbb{I}_n.$$ También es bien sabido que el $(i,j)$ elemento $Ad_{ij}(t)$ $Ad(t)$ $c_{ji}(t)$ es decir, el adjunto es la transpuesta de la cofactor de la matriz.

Por el momento, derivado de la $\det X(t)$ hemos $$\frac{d}{dt}[\det X(t)] =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{\frac{\partial \det X(t)}{\partial X_{ij}(t)}\frac{d}{dt}[X_{ij}(t)]}$$

También por definición $$\det X(t)=\sum_{i=1}^n{c_{ij}(t)X_{ij}(t)}$$ y por lo tanto $$\frac{\partial \det X(t)}{\partial X_{ij}(t)}=c_{ij}(t)=Ad_{ji}(t)$$ Así $$\frac{d}{dt}[\det X(t)] =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{Ad_{ji}(t)\frac{d}{dt}[X_{ij}(t)]}\\ =tr\left[Ad(t)\frac{dX}{dt}\right]=tr\left[Ad(t)A(t)X(t)\right]\\ =tr\left[(X(t)Ea(t))\:A(t)\right]=tr\left[\det(X(t)) (t)\right]=tr\left[A(t)\right]\det(X(t))$$ donde yo he usado la propiedad $tr(AB)=tr(BA)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{a_{ij}b_{ji}}$ para las matrices cuadradas $A=[a_{ij}], B=[b_{ij}]$.