Efecto Stark en el primer estado excitado del hidrógeno

Question

Sé que el estado básico del hidrógeno no se ve afectado por el efecto Stark de primer orden. Y también sé que el 1er estado excitado se divide de 4 estados degenerados a 2 distintos, y 1 estado degenerado así:

Pero no entiendo muy bien por qué. Imagino que tiene que ver con la (anti)simetría de las funciones de onda y las reglas de selección.

¿Alguien puede explicarlo?

Answer 1

Lo que ocurre, esencialmente, es que las funciones de onda S y P se mezclan para producir estados propios que tienen centros desplazados. Esto significa que el átomo obtiene un momento dipolar eléctrico inducido, cuya interacción con el campo externo disminuye o aumenta la energía propia.

Más concretamente, consideremos las funciones de onda de los estados $|200\rangle$ y $|210\rangle$ : El primero es esféricamente simétrico, mientras que el segundo tiene dos lóbulos en los que la función de onda tiene signos diferentes.

Si el campo es fuerte (es decir, más fuerte que la interacción fina, que separa estos dos niveles, pero no lo suficientemente fuerte como para que los niveles con otros $n$ ) entonces los estados propios serán mezclas uniformes de estos, pero con diferentes fases, como indica su diagrama.

En realidad, esto debería hacerse correctamente, pero para una imagen intuitiva añadir colores iguales los amplifica mientras que añadir colores opuestos los anula, y viceversa para la sustracción. Si se hace así, se obtiene algo así: Obsérvese, en particular, que el centro electrónico de carga se ha desplazado desde el origen, lo que significa que los estados tienen momentos dipolares distintos de cero. Con el campo eléctrico apuntando hacia abajo, el estado de la izquierda tiene una energía más baja y el de la derecha está elevado.

Normalmente, estas superposiciones "revolotearían" entre una y otra, ya que la diferencia de energía de la estructura fina entre ellas hace que el estado P acumule fase (como $e^{-iE_{21}t/\hbar}|210\rangle$ ) ligeramente más rápido que el estado S. Con el campo presente y apuntando hacia abajo, el estado de la izquierda se queda donde está porque el campo sigue tirando del electrón hacia atrás. El estado de la derecha es forzado a su posición de alta energía por el requisito de que sea ortogonal al primero.

Para hacerlo de manera más formal, basta con plantear el problema de manera más específica. Decir que el campo no es lo suficientemente fuerte como para mezclar subespacios con diferentes $n$ equivale a decir que te interesa la estructura del hamiltoniano en el subespacio $\mathcal{H}=\text{span}\{|200\rangle,|210\rangle,|211\rangle,|21-1\rangle\}$ . El hamiltoniano se describe entonces completamente por sus elementos matriciales $$ \langle 2l'm'|\hat H|2lm\rangle=E_{2l}\delta_{l'l}\delta_{m'm}+\int \mathrm{d}\mathbf{r} \ \psi^\ast_{2l'm'}(\mathbf{r})E_0 z\ \psi_{2lm}(\mathbf{r}). $$ Estas integrales deberías poder encontrarlas tú mismo, pero hay reglas de selección (que equivalen a las propiedades de paridad de la integral anterior) que requieren que la mayoría de los elementos sean cero. El hamiltoniano se reduce así a la forma $$\hat H = \begin{pmatrix} E_{20} &E_0 d&0&0\\ E_0 d& E_{21} &0&0\\ 0&0& E_{21}&0\\ 0&0&0& E_{21} \end{pmatrix} $$ con la ordenación de las bases como en el caso anterior y donde $d=\int \mathrm{d}\mathbf{r}\ \psi^\ast_{200}(\mathbf{r}) z\ \psi_{210}(\mathbf{r})$ puede asumirse como real.

Una vez hecho esto, decir que el campo es fuerte con respecto a la interacción fina significa hacer cumplir la condición de que $E_0 d\gg|E_{21}-E_{20}|$ es decir, trabajando en la aproximación de que $E_{21}\approx E_{20}$ . En esta aproximación el hamiltoniano en el subespacio $\text{span}\{|200\rangle,|211\rangle\}$ es (hasta un cambio de origen en la energía) de la forma $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ y los estados propios son como los anteriores. (Si el campo no es tan fuerte, habrá pequeños términos fuera de la diagonal, y la mezcla no será tan buena. Para los detalles, ¡hay que diagonalizar! Es relativamente fácil, ya que se trata de un simple problema de dos niveles).

Esto es realmente todo el formalismo que se puede poner sin exagerar. Para hacer el problema de forma más rigurosa hay que ampliar los límites físicos del problema: si el campo es débil, hay que considerar los efectos de la estructura fina e incluso hiperfina; si el campo es fuerte, hay que considerar la mezcla de diferentes subespacios principales, y trabajar hasta un orden superior al primero. Ambas direcciones suponen bastante trabajo y alteran los resultados que citas. (¡Tienen que hacerlo!)