El lema de Urysohn en topología general dice:
Un espacio topológico $X$ es normal (es decir, $T_4$ ) si, para cada par de subconjuntos cerrados disjuntos $C, D \subset X$ existe una función $f : X \to [0, 1]$ tal que $f(C) = 0$ y $f(D) = 1$ .
Por supuesto, la prueba de Urysohn se basa en gran medida en la estructura de $[0, 1]$ , para pasar, pero me pregunto hasta qué punto es necesario. En particular, digamos que
Un espacio $Y$ se dice que "tiene propiedad $\mathscr{U}$ "si, para cada espacio compacto de Hausdorff $X$ y cada par de subconjuntos disjuntos $C, D \subset X$ existe un mapa continuo $f : X \to Y$ de manera que haya $y_1 \neq y_2 \in Y$ con $f(C) = y_1$ y $f(D) = y_2$ .
Pregunta: ¿Podemos caracterizar esos espacios con la propiedad $\mathscr{U}$ ?
El lema de Urysohn dice que cualquier espacio que contenga un segmento de línea tiene la propiedad $\mathscr{U}$ . ¿Es esta condición suficiente de hecho necesaria?
(Por supuesto, podríamos definir una propiedad similar sustituyendo "Hausdorff compacto" por "normal". Me interesa directamente la primera situación, pero no tengo ni idea de cuál es la definición "correcta" que hay que hacer).
Motivación: Hace poco me enteré del siguiente resultado tan bonito: Que $X$ sea un espacio compacto de Hausdorff y $F$ sea un campo topológico. Entonces existe una biyección continua $$\varphi : X \to \operatorname{MaxSpec} C(X, F),$$ donde el espacio de la derecha está dotado de la topología de Zariski. Por supuesto $\varphi^{-1}$ normalmente estará lejos de ser continua, ya que la topología de Zariski es bastante débil. Sin embargo, cuando $F = \mathbb{R}$ entonces $\varphi$ es un homeomorfismo. Para ver esto, verificamos directamente que $\varphi$ es un mapa cerrado utilizando el lema de Urysohn.
Me pregunto si esto nos permite dar una caracterización de los números reales como un campo topológico que es esencialmente diferente de los habituales.
