Matemática significado de ciertas integrales en física

Question

Mientras estudiaba en textos de física me doy cuenta de que la diferenciación bajo el signo integral usualmente se introducen sin ningún tipo de comentario sobre las condiciones de los permisos para hacerlo. En ese caso, yo me ocupo de pensar acerca de lo que el autor está asumiendo y habitual del supuesto de hecho en la física que todas las funciones son de clase $C^\infty$, al menos a trozos compactos subconjuntos, a menudo es suficiente para garantizar la liceity libremente commutating la derivada y la integral de signos.

Mientras que el estudio de la derivación de la ley de Ampère de la Biot-Savart ley, algo me ha sorprendido en esta prueba , la cual parece estar en todas partes en línea y en cartaceous textos. De hecho, el campo magnético en un punto de $\mathbf{x}$ es $$\mathbf{B}(\mathbf{x}):=\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V\mathbf{J}(\mathbf{l})\times\frac{\mathbf{x}-\mathbf{l}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{l}\|}d^3l=\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V\nabla_x\times\left[\frac{\mathbf{J}(\mathbf{l})}{\|\mathbf{x}-\mathbf{l}\|}\right]d^3l$$where I would prove the identity of the integrands at both members by considering the derivatives as... well, ordinary derivatives. I keep Wikipedia's notation except for $\mathbf{x}$, which is more common as a variable, and the norm sign, for which I have always seen $\|\cdot\|$ elsewhere. Then we can notice that the proof uses a differentiation under the integral sign (at $(1)$ below): since $\nabla_x\times\left[\nabla_x\times\left[\frac{\mathbf{J}(\mathbf{l})}{\|\mathbf{x}-\mathbf{l}\|}\right]\right]=\nabla_x\left[\nabla_x\cdot\left[\frac{\mathbf{J}(\mathbf{l})}{\|\mathbf{x}-\mathbf{l}\|}\right]\right]-\nabla^2\left[\frac{\mathbf{J}(\mathbf{l})}{\|\mathbf{x}-\mathbf{l}\|}\right]=\nabla_x\left[\mathbf{J}(\mathbf{l})\cdot\nabla_x\left[\frac{1}{\|\mathbf{x}-\mathbf{l}\|}\right]\right]$ $-\nabla^2\left[\frac{1}{\|\mathbf{x}-\mathbf{l}\|}\right]\mathbf{J}(\mathbf{l})$, where I would calculate the derivatives as ordinarily understood, again, we have that$$\nabla_x\times\mathbf{B}(\mathbf{x})=\nabla_x\times\left[\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V\nabla_x\times\left[\frac{\mathbf{J}(\mathbf{l})}{\|\mathbf{x}-\mathbf{l}\|}\right]d^3l\right]$$$$=\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V\nabla_x\times\left[\nabla_x\times\left[\frac{\mathbf{J}(\mathbf{l})}{\|\mathbf{x}-\mathbf{l}\|}\right]\right]d^3l\quad(1)$$$$=\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V\nabla_x\left[\mathbf{J}(\mathbf{l})\cdot\nabla_x\left[\frac{1}{\|\mathbf{x}-\mathbf{l}\|}\right]\right]-\nabla^2\left[\frac{1}{\|\mathbf{x}-\mathbf{l}\|}\right]\mathbf{J}(\mathbf{l})\,d^3l$$and then the integral is split as licit for Riemann, and Lebesgue, integrals when both integrands are integrable, and the gradient and integral signs are commutated in the first of the two resulting integrals to get$$\frac{\mu_0}{4\pi}\nabla_x\iiint_V\mathbf{J}(\mathbf{l})\cdot\nabla_x\left[\frac{1}{\|\mathbf{x}-\mathbf{l}\|}\right]d^3l-\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V\nabla^2\left[\frac{1}{\|\mathbf{x}-\mathbf{l}\|}\right]\mathbf{J}(\mathbf{l})\,d^3l$$where the first addend is $\mathbf{0}$ (I do not understand how it is calculated, but that is not the main focus of my question) and where the identity $\nabla^2\left[\frac{1}{\|\mathbf{x}-\mathbf{l}\|}\right]=-4\pi\delta(\mathbf{x}-\mathbf{l})$, where the derivatives are this time intended as derivatives of a distribution, is used to get$$-\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V\nabla^2\left[\frac{1}{\|\mathbf{x}-\mathbf{l}\|}\right]\mathbf{J}(\mathbf{l})\,d^3l=\mu_0\mathbf{J}(\mathbf{x}).$$ Everything of my reasoning seemed to me to work by assuming $V\subset\mathbb{R}^3$ to be compact and such that $\mathbf{x}\noen V$ and intending the integral $\iiint...d^3l$ a ser una de Riemann (o Lebesgue, que, en ese caso, creo que para ser el mismo) integral, pero en este último paso veo que no era lo que yo pensaba.

¿Cuáles son, entonces, las integrales que aparecen en los cálculos? No pueden ser las integrales de Riemann, tal y como yo lo entiendo, porque entonces debe de ser $\mathbf{x}\notin V$ y, a continuación,$\iiint_V\nabla^2\left[\frac{1}{\|\mathbf{x}-\mathbf{l}\|}\right]\mathbf{J}(\mathbf{l})\,d^3l=\mathbf{0}$, y que no puede ser Lebesgue integrales, ya que, incluso con $\mathbf{x}\in V$, luego $\iiint_V\nabla^2\left[\frac{1}{\|\mathbf{x}-\mathbf{l}\|}\right]\mathbf{J}(\mathbf{l})\,d^3l$ $=\int_{V\setminus\{\mathbf{x}\}}\nabla^2\left[\frac{1}{\|\mathbf{x}-\mathbf{l}\|}\right]\mathbf{J}(\mathbf{l})\,d\mu_{\mathbf{l}}$ $=\mathbf{0}$, incluso si $\mathbf{J}(\mathbf{x})$ es no nulo.

¿Qué otra cosa si no de Riemann o Lebesgue integrales? ¿Por qué es el calculo de la integral y diferencial a los operadores lícito? Si tenemos la intención de que ellos representan funcionales en el contexto del análisis funcional (que es el único que conozco de donde Dirac $\delta$ está definido), que la función de ($\varphi$, el uso de la notación utilizada aquí) es el argumento de la funcional?

O es que uno de esos casos, cuyo conjunto me han dicho que no se vacía, donde los métodos de física, al menos en la didáctica de nivel, no son tan riguroso como las matemáticas requeriría? Doy sinceramente las gracias a cualquier respuesta.

Answer 1

La diferencia entre la forma en que los Matemáticos y los Físicos de manejar las cosas se basa en un supuesto subyacente de la Física que las soluciones de las ecuaciones Físicas que existen. El Matemático diría que, si usted tiene un $C^2$ escalares campo $F$ en una región del espacio, entonces usted puede reconstruir $F$ si usted sabe $\nabla^2F$. En primer lugar, para $r \ne r'$, $$ \frac{1}{|r-r'|}\nabla'^2F(r')=\frac{1}{|r-r'|}\nabla'^2F(r')-F(r')\nabla'^2\frac{1}{|r-r'|}\\ = \nabla'\cdot\left[\frac{1}{|r-r'|}\nabla ° F(r')-F(r')\nabla'\frac{1}{|r-r'|}\right] $$ La manera de hacer esto es con la integración de las reglas de Cálculo: $$ \frac{1}{4\pi}\int_{V}\nabla^2 F(r')\frac{1}{|r-r'|}dV(r') \\ =\lim_{\epsilon\downarrow 0}\frac{1}{4\pi}\int_{V\setminus B_{\epsilon}(r)}\nabla^2F(r')\frac{1}{|r-r'|}dV(r')\\ = \lim_{\epsilon\downarrow 0}\left[\frac{1}{4\pi}\int_{\partial V\setminus B_{\epsilon}(r))}\frac{1}{|r-r'|}\frac{\partial F}{\partial n}dS(r') -\frac{1}{4\pi}\int_{\partial V\setminus B_{\epsilon})}F(r')\frac{\partial}{\partial n'}\frac{1}{|r-r'|}dS(r')\right] \\ = -F(r)+\frac{1}{4\pi}\int_{\partial V}\frac{1}{|r-r'|}\frac{\partial F}{\partial n}(r')) dS(r')-\frac{1}{4\pi}\int_{\partial V}F(r')\frac{\partial}{\partial n'}\frac{1}{|r-r'|}dS(r') $$ Por lo tanto, el campo escalar puede ser reconstruida si $\nabla^2F$ $\frac{\partial F}{\partial n}$ se conoce en algunos bonitos de la región de $V$: \begin{align} F(r)& =\frac{1}{4\pi}\int_{\partial V}\frac{1}{|r'-r|}\frac{\partial F}{\partial n}(r')dS-\frac{1}{4\pi}\int_{\partial V}F(r')\frac{\partial}{\partial n'}\frac{1}{|r-r'|}dS(r') \\ & -\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{1}{|r'-r|}\nabla^2F(r')dV(r').\;\;\;\; (*) \end{align} Pero el Físico tiene más información. El Físico se supone que están tratando con un campo escalar con volumen conocido y superficie de las funciones de densidad de $\rho$$\sigma$. Y por lo tanto debe ser que $$ \nabla^2\left[F(r)=\frac{1}{4\pi}\int_{\partial V}\frac{1}{|r'-r|}\sigma(s)dS+\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{1}{|r'-r|}\rho(r')dV(r')+\cdots\right] \\ =\nabla^2\left[\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{1}{|r'-r|}\rho(r')dV(r')\right]=-\rho(r) $$ Por lo que el Matemático ha dejado inverso $L\nabla^2F = F$ desde que el Físico obtiene el derecho a la inversa: $\nabla^2 L\nabla^2F = \nabla^2F$. Este es un derecho pleno inversa debido a que, basado en la Física motivos, cada razonable de la densidad de $\rho$ puede ser escrito como $\rho=-\nabla^2F$. Por lo tanto $\nabla^2 L\rho = -\rho$. Otra manera de decirlo: Si $\rho$ es una buena función de densidad de (continua o seccionalmente continua, por ejemplo) para el cual existe algún $F$ tal que $\nabla^2F=-\rho$, luego $$ \nabla^2 \left[\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\rho(x')}{|x-x'|}dV(x')\right]=-\rho(x) \;\;\;\; (\daga) $$ Por qué? Debido a $F$ tiene la anterior representación integral (*) la participación de $\nabla^2F$ y los valores de $F$, $\frac{\partial F}{\partial n}$ en el límite, lo que obliga $(\dagger)$ por el argumento anterior. No es tan duro para construir algunos de esos $F$, por ejemplo, si $\rho$ es suave: extender $\rho$ a un cubo y el uso de técnicas de Fourier. Todo lo que usted necesita saber es que existe alguna $F$, y la precisa información de límite no importa con el fin de argumentar que $(\dagger)$ debe mantener basado en la representación $(*)$$F$.

El Matemático insisten en que usted probar la existencia de una solución de este tipo, mientras que el Físico sabe cómo funciona el mundo y no tiene que preguntar si la naturaleza sabe cómo resolver las ecuaciones. :) Existe una solución--vamos a ir a buscar. El Physicst del enfoque productivo; sólo necesita ser consciente de los supuestos.

El Teorema de Helmholtz de la Matemática es la siguiente: cada liso campo de vectores $\vec{F}$ en una bonita región puede ser reconstruido a partir de $\nabla\cdot\vec{F}$$\nabla\times\vec{F}$: $$ \begin{align} \vec{F}(x,y,z)=&-\nabla\left[\int_{V}\frac{\nabla'\cdot \vec{F}(\vec{x}')}{4\pi|\vec{x}-\vec{x}'|}dV'-\oint_{S}\frac{\vec{F}(\vec{x}')\cdot\hat{n}}{4\pi|\vec{x}-\vec{x}'|}dS'\right] \\ &+\nabla\times\left[\int_{V}\frac{\nabla'\times \vec{F}(\vec{x}')}{4\pi|\vec{x}-\vec{x}'|}dV'+\oint_{S}\frac{\vec{F}(\vec{x}')\times\hat{n}}{4\pi|\vec{x}-\vec{x}'|}dS'\right] \end{align} $$ Voy a dejar de construir su propio derecho inversos de la izquierda inversa dada anteriormente. El resultado final es que parece que estás intercambiando diferenciación de los operadores con las integrales, pero en realidad no lo es. Estás asumiendo una solución de una ecuación y la obtención de la forma requerida en el vector identidades, sabiendo que usted tiene una solución. Usted sabe automáticamente que al aplicar los operadores diferenciales a la solución, usted consigue lo que usted comenzó. Y, por supuesto, usted está utilizando el operador de identidades como $\nabla\cdot\nabla\times \vec{F}=0$ $\nabla\times \nabla f=0$ a eliminar los términos de la anterior, al aplicar los operadores diferenciales.

Estas poderosas técnicas de generalizar a la Geometría Diferencial. Pero las raíces de este tema de la mentira en Heavside la vectorización de las Ecuaciones de Maxwell. Había un montón de genios que participan en este trabajo.