Valor máximo de$x$ cuando se otorga igualdad

Question

$$ x + y = \sqrt{x} + \sqrt{y} $ $ Encuentra el valor máximo de $x$ . $x$ y $y$ son reales.

Answer 1

Intenta este método de completar el cuadrado.

Deje que $a=\sqrt x$ y $b=\sqrt y$ para que $a^2+b^2=a+b$ y $4a^2-4a+1+4b^2-4b+1=2$ ie $(2a-1)^2+(2b-1)^2=2$

Answer 2

Si establece $f(x)=x-\sqrt{x}$ , a continuación, usted desea solucionar $f(x)=-f(y)$

El máximo de $x$ es alcanzado por la línea verde de intersección de ambas curvas de $f$ e $-f$ en el máximo posible de altitud.

Así que tenemos que solucionar $f'(y)=0\iff1-\dfrac1{2\sqrt{y}}=0\iff y=\frac 14$

El correspondiente $x$ verifica $f(x)=-f(y)=\dfrac 14$ y esto es sólo un polinomio cuadrático que resolver para encontrar la $x$ valor.

El máximo es entonces $x=\frac{3+2\sqrt{2}}4\approx 1.4571$

Answer 3

Obviamente $x,y\ge0$. Por lo tanto, podemos escribir $x=r^2\cos^2\theta$ e $y=r^2\sin^2\theta$. Entonces la ecuación se convierte en $$r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r(\cos\theta+\sin\theta)$$ con $\theta \in [0,\frac\pi2]$ e $r\gt 0$. Dividiendo por $r$ y multiplicando por $\cos\theta$ obtenemos $$\sqrt x=(\cos\theta+\sin\theta)\cos\theta=\cos^2\theta+\sin\theta\cos\theta$$ Ahora encontrar el máximo de la expresión de la derecha. El uso de la fórmula para el seno y coseno de doble ángulo.

Answer 4

Desde $x+ y = \sqrt{x} + \sqrt{y}$ es simétrica, WLOG, podemos considerar $x\ge y\ge 0$ o $y=ax, 0\le a\le 1$. Entonces: $$x+ ax = \sqrt{x} + \sqrt{ax} \Rightarrow \color{red}{\sqrt{x}}=\frac{1+\sqrt{a}}{1+a} \to \text{max s.t. $0\le\le 1$}\\ f'(a)=\left(\frac{1+\sqrt{a}}{1+a}\right)'=0 \Rightarrow \frac{\frac1{2\sqrt{a}}(1+a)-(1+\sqrt{a})}{(1+a)^2}=0 \Rightarrow \\ un+2\sqrt{a}-1=0 \Rightarrow a=3-2\sqrt{2}\approx 0.17.$$ Tenga en cuenta que la función de $f(a)$ es continua en a$0\le a\le 1$ e $f(0)=f(1)=1$ e $f(3-2\sqrt{2})=\frac12(1+\sqrt{2})\approx 1.207$. Por lo tanto debe ser el punto máximo (ver Desmo gráfico).

Así, el máximo valor de $x$es: $$\color{red}x=\left(\frac{1+\sqrt{3-2\sqrt{2}}}{1+(3-2\sqrt{2})}\right)^2=\frac14\left(1+\sqrt{2}\right)^2\approx 1.457.$$

Answer 5

Observa eso

PS

Ahora, para cualquier valor $$x+y=\sqrt x+\sqrt y\iff \sqrt x\left(\sqrt x-1\right)=\sqrt y\left(1-\sqrt y\right)$ , el lado izquierdo de arriba será positivo mientras que el derecho será negativo (¿puedes ver por qué?), Por lo tanto, debemos restringir los posibles valores naturales ... ¿Puedes tomarlo desde aquí? ?