Fibras del cambio de base de un régimen

Question

Intento comprender mejor la noción de productos de fibra de los regímenes. Dos aplicaciones principales que he empezado a estudiar son:

1) Hacer un $S$ -esquema $X$ en un $S'$ -a través de un morfismo $S' \rightarrow S$ y

2) Obtención de la noción de fibra: Para un punto $p$ de $S$ el morfismo canónico $\operatorname{Spec}k(p) \rightarrow S$ induce el esquema $\operatorname{Spec}k(p) \times_S X$ en $\operatorname{Spec}k(p)$ cuyo espacio topológico subyacente coincide con la fibra sobre $p$ .

¿Cuál es el efecto del cambio de base en las fibras? Digamos que tengo $f: X \rightarrow S$ , $g: S' \rightarrow S$ y $p \in S, p' \in g^{-1}(p)$ . Denotemos $X' = X \times_S S'$ y que $f': X' \rightarrow S'$ sea el cambio de base de $f$ . Entonces hay dos fibras

$\begin{align} f^{-1}(p) &= \operatorname{Spec}k(p) \times_S X\\ f'^{-1}(p') &= \operatorname{Spec}k(p') \times_{S'} X' \end{align}$

y existe un morfismo inducido $\operatorname{Spec}k(p') \times_{S'} X' \rightarrow \operatorname{Spec}k(p) \times_S X$ por la propiedad universal del producto fibra. ¿Será un isomorfismo en general, o al menos en ciertos casos? Sobre todo tengo curiosidad por saber qué ocurre si $g$ es un mapa no constante de curvas suaves sobre $k$ .

Answer 1

Sea $A\to B\to C, D\to C$ son morfismos en cualquier categoría, entonces existe una equivalencia natural general: $$A\times_B(B\times_C D) \stackrel {\simeq}{\longrightarrow } A\times_C D,$$ lo que puede comprobarse fácilmente por la propiedad universal del producto fibra.

Así que en el caso anterior tenemos: $$f'^{-1}(p') = \mathrm{Spec}\,k(p')\times_{S'} (S' \times_S X) \simeq \mathrm{Spec}\,k(p') \times_S X \\\simeq \mathrm{Spec}\,k(p') \times_{\mathrm{Spec}k(p)}(\mathrm{Spec}\,k(p)\times_S X)= \mathrm{Spec}\,k(p')\times_{\mathrm{Spec}k(p)}f^{-1}(p).$$

La fibra $f^{-1}(p)$ puede ser cualquier esquema sobre $k(p)$ (para cada $X$ en $k(p)$ la fibra del morfismo $X\to \mathrm{Spec}\,k(p)\to S$ en $p$ es igual a $X$ ) por lo que su problema se reduce a la consideración de los cambios de base sobre la extensión del campo: $k(p')/k(p)$ . Y esta extensión de base es siempre isomorfismo si $k(p) \to k(p')$ es isomorfismo, es decir $k(p) = k(p')$ . (Puede verlo suponiendo $f^{-1}(p) = \mathrm{Spec}\,k(p)$ .)

En el caso de que $S'\to S$ es un morfismo de curvas suaves (irreducibles), $p$ y $p'$ son ambos un punto cercano ( $k(p), k(p')$ finito sobre $k$ ) o ambos genéricos ( $k(p), k(p')$ f.g con tr.deg =1 sobre $k$ ). Así que sólo debe comprobar que $[k(p'):k(p)] =1 $ para el isomorfismo de fibras en el caso general. En el segundo caso, esto equivale a la bi-racionalidad de $g$ y en el primer caso esta condición es obviamente cierta si $k$ se supone que es algebraicamente cerrada.