Problema de límite de función de la función

Question

Así que traté de resolver esto: https://brilliant.org/practice/level-2-4-limits-of-functions/?p=1

Tengo esta:

Estoy completaly la curiosidad de saber si esta respuesta marcada en verde está a la derecha (que es la respuesta correcta según el sitio web). Para mí, el límite no existe, pero si esa no era la respuesta, podría, en el mejor de los casos, 6. Intuitivamente, diciendo que la respuesta es 5 implicaría que usted está tomando el límite de x -> 2- sobre x -> 2+ que no tiene sentido para mí.

Answer 1

Esto es un tanto complicado, pero parece que la respuesta es, de hecho, a la derecha, si se sigue la definición.

Supongamos que usted se conecte a x números arbitrariamente cerca de las 6, pero menor que 6. Es claro que f(x) es ligeramente mayor que 2, y por lo tanto f(f(x)) será ligeramente menor que 5.

Sin embargo, hacer lo mismo con los números arbitrariamente cerca de las 6, pero más de 6. El mismo resultado se da -- f(x) será ligeramente mayor que 2, y por lo tanto f(f(x)) es menor que 5.

Desde el límite de la izquierda y la derecha son iguales, el límite existe en general.

Answer 2

Usted no sólo tiene $f(x) \to 2$ $x \to 6$ pero aun $f(x) \downarrow 2$$x \to 6$. Debido a $\lim_{y \downarrow 2} f(y) = 5$ se obtiene que $$ \lim_{x \a 6} f(f(x)) = \lim_{y \downarrow 2} f(y) = 5. $$

Answer 3

Esas respuestas son correctas.

La clave es que $f(x) > 2$ para todos los $x$ cerca pero no es igual a $6$.

Esto significa que $f(f(x))$ siempre enfoques $f(2)$ desde arriba, tan solo en la mano derecha límite.

Si la curva de cruzó$y=2$ por lo $f(x)$ para $x > 6$ fue menos de$2$, el límite no existe.

Answer 4

De manera informal, $\lim_{x \to p} f(x)=L$ significa que "cuando f se aplica a cualquier entrada lo suficientemente cerca de p, el valor de salida es forzado arbitrariamente cerca de L". En la imagen, al $x$ es lo suficientemente cerca de las 6, $f(x)$ puede ser arbitrariamente cerca de $2$ y siempre mayor que $2$. A continuación, $f(f(x))$ puede ser arbitrariamente cerca de $5$, ya que la curva en $x\leq2$ no se utiliza en absoluto.

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$\lim_{x \to 6} f(f(x))=L$ es definido a decir:

Para todos los $\varepsilon>0$, existe un $\delta>0$ tal que para todos los $x$ ( $D$ ) que satisfacen $0<|x-6|<\delta$, la desigualdad de $|f(f(x))-L|<\varepsilon$ mantiene.

Deje $L=5$. Para todos los $\varepsilon>0$, seleccionamos $\delta$ utilizando los pasos siguientes:

1. $e = \min{\{\varepsilon, 0.5\}}$.
2. Solucionar $f(d)=5-e$. Desde $0<e<1$ podemos llegar a una solución en $(2,3)$. El nombre de $d$.
3. Solucionar $f(c)=d$. Hay 2 soluciones en $(3,6)$ $(6,9)$ (nota:$2<d<3$). Nombre de $c_1, c_2$.
4. $\delta=\min{\{|6-c_1|,|c_2-6|\}}$.

Ahora, para todos los $x$ que satisfacer $0<|x-6|<\delta$, $x$ está más cerca de a $6$ que $c_1$$c_2$, lo $c_1<\delta<c_2$ (e $\delta \neq 6$). Por lo tanto, de la imagen, $2<f(x)<d$, e $5>f(f(x))>5-e$, lo $|f(f(x))-5|<e\leq\varepsilon$ mantiene.

Así, a partir de la definición de $\lim_{x \to 6} f(f(x))=5$.

Answer 5

Echa un vistazo a dos diferentes ejemplos usando las mismas funciones y la misma idea que en el problema original: en el primer ejemplo, el límite de la DNE; en el segundo, sin embargo, el límite existe y es igual a 7. Haga clic aquí para ver los ejemplos