Encontrar una alternativa superior al método de Euler hacia Atrás

Question

Actualmente, estamos utilizando el backward Euler (o implícito de Euler) método para la solución de rígidos de ecuaciones diferenciales ordinarias durante computación científica.

Suponiendo una muy potente hardware y un idéntico tamaño de paso más pequeño que 100us. Hay otras estable métodos de integración que son capaces de calcular y(n+1) en tan sólo un paso de tiempo (en tiempo real) y tienen menores errores de truncamiento? ¿Cuáles son sus pros y sus contras?

Me gustaría poner en práctica las más prometedoras y comparar sus resultados.

Referencias externas:

Solución numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Uno De Los Métodos Paso: Capítulo 3.3

Juan Carniceros Tutoriales

Answer 1

Si usted está utilizando actualmente hacia atrás de Euler para un lineal ODE $\dot y=Ay+b$, entonces usted se está resolviendo en cada paso $$ \Bigl(I-hA(t_n+h)\Bigr)\,y_{n+1} = y_n+hb(t_n+h) $$ Si $A$ es constante, que es una factorización de la matriz en la inicialización y la correspondiente al revés sustituciones por paso.

El uso de la implícita trapezoidal fórmula $$ y_{n+1}=y_n+\frac h2(f(t_n,y_n)+f(t_n+h,y_{n+1})) $$ requiere para resolver la ecuación lineal el sistema $$ \left (\frac h2(t_n+h)\right)y_{n+1}=\left (\frac h2A(t_n)\right)y_n+\frac h2\left(b(t_n)+b(t_n+h)\right) $$ En comparación con el método antes, se trata de una matriz-vector de la multiplicación, que no es mucho esfuerzo, especialmente si $A$ es escasa. Y un poco más de organización y almacenamiento, lo cual es una preocupación en el tiempo de codificación y no influyen significativamente en el tiempo de ejecución.