¿Por qué es la Hodge-Deligne polinomio un polinomio?

Question

Deje $X$ ser un pequeño complejo colector. Su Hodge-Deligne polinomio se define a ser $\sum_{p, q \geq 0} (-1)^{p+q} h^{p, q}(X)$ donde $h^{p, q}(X):= \mbox{dim}_{\mathbb{C}}H^{p, q}(X)$.

La pregunta ahora es: ¿por qué esto es un polinomio? Más concretamente quiero saber lo siguiente:

• ¿Por qué son los números de $h^{p, q}(X)$ siempre finito, o, equivalentemente, los espacios vectoriales $H^{p, q}(X)$ finito-dimensional.

• ¿Por qué son los valores de $h^{p, q}(X)$ igual a $0$ si $p+q$ es lo suficientemente grande?

Answer 1

Deje $X$ ser un pequeño complejo colector de dimensión $n$. No voy a asumir la $X$ Kähler ya que no (y también, debo confesar que me gusta en general teoremas!). Por definición, $H^{p,q}(X)=H^q(X,\Omega ^p_X)$ y se puede razonar de la siguiente manera.

a) Desde $\Omega ^p _X$ es el cero gavilla de $p\gt n$, entonces, evidentemente, en el caso de $H^q(X,\Omega ^p_X)=0 \:$, por lo que

$$h^{p,q}(X)=0 \quad \text {for} \quad p\gt n$$

b) Cartan-Serre demostrado que en 1953 el cohomology espacios de $H^q(X,\mathcal F)$ de una coherente gavilla $\mathcal F$ en un compacto de colector son todos finito-dimensional, poniendo la estructura de un espacio de Fréchet en los espacios de $H^q(V,\mathcal F)$ para ciertos Stein abrir subconjuntos $V\subset X$. Permítame enfatizar de nuevo que $X$ no tienen que ser de Kähler en su teorema: no Hodge teoría está involucrado. Así tenemos $$h^{p,q}(X)\lt \infty \quad \text {for} \quad p,q\geq 0$$

c) Y ahora para la picadura de: Andreotti y Grauert demostró en 1962 el increíble teorema que para un complejo colector de $Y$ de la dimensión de $n$, compacto o no, la cohomology grupos de desaparecer por encima de $n$ para todo coherente poleas: $H^q(Y,\mathcal F)=0$$q\gt n$. Y en realidad es incluso mejor si $Y$ es noncompact porque entonces usted también tiene $H^n(Y,\mathcal F)=0$ ! De todas maneras, tenemos:

$$h^{p,q}(X)=0 \quad \text {for} \quad q\gt n$$

[Ten en cuenta que esto no siga de una) si $X$ no se asume Kähler, porque entonces usted no necesariamente tiene $h^{p,q}(X)=h^{q,p}(X)$]

Answer 2

La segunda parte es fácil: si el colector es $n$-dimensional, entonces no hay no-cero formas diferenciales de grado superior $n$ (esto sigue casi inmediatamente de la definición de una forma diferenciada). Así que el complejo que se define el de Rham cohomology es sólo 0 más allá de la $n$-ésimo término.

La primera parte es más sutil. Una manera de demostrar finito de dimensiones compactas colectores va más o menos como sigue: uno define ciertos operadores de $\Delta$ $\Omega^k(X)$ , de forma que su kernel $\mathcal H_\Delta^k(X)=\{\alpha\in\Omega^k(X)\mid\Delta\alpha=0\}$ es naturalmente isomorfo a $H^k(X)$ (este isomorfismo fue demostrado por Hodge). Ahora, estos operadores $\Delta$ son elípticas y núcleos de elíptica operadores compactos colectores son finito dimensionales.