Deje $X$ ser un pequeño complejo colector de dimensión $n$. No voy a asumir la $X$ Kähler ya que no (y también, debo confesar que me gusta en general teoremas!). Por definición, $H^{p,q}(X)=H^q(X,\Omega ^p_X)$ y se puede razonar de la siguiente manera.
a) Desde $ \Omega ^p _X $ es el cero gavilla de $p\gt n$, entonces, evidentemente, en el caso de $H^q(X,\Omega ^p_X)=0 \:$, por lo que
$$h^{p,q}(X)=0 \quad \text {for} \quad p\gt n$$
b) Cartan-Serre demostrado que en 1953 el cohomology espacios de $H^q(X,\mathcal F)$ de una coherente gavilla $\mathcal F$ en un compacto de colector son todos finito-dimensional, poniendo la estructura de un espacio de Fréchet en los espacios de $H^q(V,\mathcal F)$ para ciertos Stein abrir subconjuntos $V\subset X$. Permítame enfatizar de nuevo que $X$ no tienen que ser de Kähler en su teorema: no Hodge teoría está involucrado. Así tenemos
$$ h^{p,q}(X)\lt \infty \quad \text {for} \quad p,q\geq 0 $$
c) Y ahora para la picadura de: Andreotti y Grauert demostró en 1962 el increíble teorema que para un complejo colector de $Y$ de la dimensión de $n$, compacto o no, la cohomology grupos de desaparecer por encima de $n$ para todo coherente poleas: $H^q(Y,\mathcal F)=0$$q\gt n$. Y en realidad es incluso mejor si $Y$ es noncompact porque entonces usted también tiene $H^n(Y,\mathcal F)=0$ ! De todas maneras, tenemos:
$$ h^{p,q}(X)=0 \quad \text {for} \quad q\gt n $$
[Ten en cuenta que esto no siga de una) si $X$ no se asume Kähler, porque entonces usted no necesariamente tiene $ h^{p,q}(X)=h^{q,p}(X)$]
