Es allí una manera intuitiva de ver por qué hay sólo un número finito de representaciones irreducibles?

Question

Deje $G$ ser un grupo finito. Un resultado básico en la teoría de la representación es que hasta el $\mathbb{C}[G]$-módulo de isomorfismo, hay sólo un número finito de representaciones irreducibles de $G$$\mathbb{C}$. La manera en que yo estoy familiarizado con lo que demuestra esta es dejar a $(\pi, W)$ ser cualquier irreductible representación de $G$ con carácter $\chi$, y deje $(\phi, V)$ ser la izquierda regular la representación de $G$ ($V$ es el espacio vectorial con base formal $x_g : g \in G$, y el $\mathbb{C}[G]$-estructura del módulo está dado por $gx_h = x_{gh}$) con carácter de $\gamma$. Se puede probar que "el número de veces que $W$ se produce en $V$" es igual a $$(\chi, \gamma) = \frac{1}{|G|} \sum\limits_{g \in G} \chi(g) \overline{\gamma(g)}$$ y entonces uno puede rápidamente argumentan que esto no es cero.

De ello se desprende que cada irreductible representación de $G$ se produce como un sumando directo en $V$, y a partir de la limitada singularidad de una representación como una suma directa de irreductible subrepresentations, usted puede ver que hay sólo un número finito de representaciones irreducibles hasta el isomorfismo

Sin embargo, hay una manera más intuitiva de ver que hay sólo un número finito de representaciones irreducibles de $G$? Sin ningún carácter de teoría, sé que si $(\pi,W)$ es irreducible, entonces la dimensión de $W$ debe $\leq$ el orden de $G$, porque si $0 \neq v \in W$, en el lapso de $gv : g \in G$ debe $W$. Estoy teniendo problemas para subir con cualquier inmediata de los resultados más allá de eso.

Answer 1

Deje $\rho$ ser una representación de $G$ sobre el espacio vectorial $V$. Para cualquier $v \in V$ $l$ lineal funcional en $V$ considera la "matriz de coeficiente" $\phi_{l,v}$, una función de $G$ $k$define de la siguiente manera $$\phi_{l,v}(g) = l (g v)$$

La igualdad de $$\phi_{l,hv}(g) = l (g hv)= \phi_{l,v}(gh)$$ implica que el mapa de $V$ $k$funciones con valores en $G$, $$v\mapsto \phi_{l,v}(\cdot)$$ es una de morfismos de representaciones. Supongamos ahora que $V$ es irreductible e $l\ne 0$. Entonces llegamos a la conclusión de que $V$ imbeds en el espacio de la $k$ funciones con valores en $G$, que puede llamar a $k[G]$. Así, vemos que cada irreductible de representación es un subrepresentation de $k[G]$.

Supongamos ahora que $G$ es finito. Vamos a mostrar que la suma de las dimensiones de las representaciones irreducibles es $\le |G|$. Vamos $V_1$, $\ldots$, $V_N$ irreductible subrepresentations de $k[G]$, de modo que $\sum \dim V_i > |G|$. Deje $i$ mínimo, de modo que la suma de $V_1$, $\ldots$, $V_i$ no es directa. A continuación,$V_i \subset V_1 \oplus \cdots \oplus V_{i-1}$, por lo que va a ser isomorfo a uno de los $V_1$, $\ldots$, $V_{i-1}$.

Answer 2

La prueba de la Artin-teorema de Wedderburn (junto con el teorema de Maschke) muestra que $\mathbb{C}[G]$ es finito, producto directo de la matriz de álgebras de $M_{d_i}(\mathbb{C})$, uno para cada irreductible representación de la dimensión $d_i$. En particular, se sigue inmediatamente, con el carácter de la teoría, que el número de representaciones irreducibles es en la mayoría de las $|G|$ (e incluso, de nuevo con ningún personaje de la teoría, que $|G| = \sum_i d_i^2$).

Más generalmente, si $A$ es finito-dimensional álgebra $\mathbb{C}$, módulos sencillos de $A$ son los mismos como simples módulos del cociente $A/J(A)$ donde $J(A)$ denota el Jacobson radical. Este anillo es semisimple, y la aplicación de Artin-Wedderburn como arriba otra vez implica que el número de módulos sencillos es en la mayoría de las $\dim A$.

Usted puede considerar estos resultados como no conmutativa análogos de la afirmación de que un polinomio tiene un número finito de raíces, que se obtiene aplicando el argumento de arriba a álgebras conmutativas de la forma $\mathbb{C}[x]/f(x)$. Los dos resultados que incluso se superponen en el caso de grupos cíclicos, que se obtiene mediante el establecimiento $f(x) = x^n - 1$.

Alternativamente, si usted está dispuesto a creer que una representación está determinada por su carácter, y que una irrep tiene dimensión en la mayoría de las $|G|$, se puede discutir (sin ortogonalidad) que hay un número finito de irreductible de los caracteres de la delimitación del número de posibles valores de una irreductible carácter en cada dimensión puede tener: a saber, si $V$ $n$- dimensiones irrep, entonces el carácter $\chi_V(g)$ es una suma de $\dim V$ las raíces de la unidad de la orden de la división de la orden de $g$.