un arco no es una retracción de la botella de Klein

Question

Quiero utilizar la homología para resolver el siguiente problema: Demostrar que la circunferencia representada por el arco azul de la imagen no es un repliegue de la botella de Klein. (Ver la imagen adjunta de la botella de Klein)

Conozco el $q$ -módulo de homología singular de la botella de Klein $K$ y algunas sobre homología singular, por ejemplo la homología relativa, la secuencia MV, etc. Al principio intenté utilizar lo siguiente: Si $A$ es un repliegue de $X$ entonces $H_q(X) = H_q(A)\oplus H_q(X,A)$ . Pero no parece ser útil para este problema. ¿Me he perdido algo sencillo?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Creo que es porque $H_1(A)=\Bbb Z$ es generado por $[a]$ , mientras que $H_1(K)$ es $\Bbb Z_2\oplus \Bbb Z$ , donde $\Bbb Z_2$ es generado por $[a]$ y $\Bbb Z$ es generado por $[b]$ . Así que si $A$ eran un repliegue de $K$ Entonces tendríamos una inyección $$H_1(A)=\langle[a]\rangle\hookrightarrow H_1(K)=[a],[b]$$ enviando $[a]$ à $[a]$ lo cual es imposible ya que $[2a]=0$ en $H_1(K)$ .