No, no como se ha dicho.
Dejemos que $X = [0,1)$ sea el intervalo unitario semiabierto, que es localmente compacto pero no compacto. Sea $K_n = \{0\} \cup [\frac{1}{n}, 1-\frac{1}{n}]$ que es compacto. Entonces tenemos $K_n \subset K_{n+1}$ y $X = \bigcup_n K_n$ . Pero el conjunto compacto $K = [0, \frac{1}{2}]$ no está contenida en ninguno de los $K_n$ .
Sin embargo, bajo estos supuestos hay algo que podemos demostrar.
Existe una secuencia de conjuntos compactos $K_n'$ tal que $\bigcup_n K_n' = X$ y $K_{n-1}' \subset (K_{n}')^\circ$ para cada $n$ . En particular, para cualquier conjunto compacto $K$ Hay un poco de $n$ con $K \subset K_n'$ .
Prueba. Por compacidad local, para cada $x \in X$ existe un conjunto abierto $U_x$ tal que $x \in U_x$ y $\overline{U_x}$ es compacto. Construimos $K_n'$ recursivamente. Para empezar, deja que $K_0'=\emptyset$ . Ahora para construir $K_n'$ Supongamos que $K_{n-1}'$ ya está construido. Como $K_n \cup K_{n-1}'$ es compacto, existe $x_1, \dots, x_r$ tal que $K_n \cup K_{n-1}' \subset U_{x_1} \cup \dots \cup U_{x_r}$ . Establecer $K_n' = \overline{U_{x_1}} \cup \dots \cup \overline{U_{x_r}}$ que es compacto. Entonces $K_{n-1}' \cup K_n \subset (K_n')^\circ$ .
En particular, $\bigcup_n K_n' \supset \bigcup (K_n')^\circ \supset \bigcup_n K_n = X$ . Así que el $K_n'$ portada $X$ .
Además, los conjuntos $(K_n')^\circ$ son una cobertura abierta creciente de $X$ . Así que si $K$ es cualquier conjunto compacto, debemos tener $K \subset (K_n')^\circ \subset K_n'$ para algunos $n$ .
