Deje $(X, \mathcal O_X), (Y, \mathcal O_Y)$ ser localmente anillado espacios. Una de morfismos de anillos espacios se define como un par de $(f,f^{\#}):(X, \mathcal O_X) \rightarrow (Y, \mathcal O_Y)$ donde $f:X \rightarrow Y$ es continua, y $f^{\#}: \mathcal O_Y \rightarrow f_{\ast} \mathcal O_X$ es una de morfismos de las poleas. Consideramos $(f,f^{\#})$ a ser también una de morfismos de localmente anillado espacios si para cada una de las $x \in X$, el homomorphism en los tallos $$f_x^{\#}: \mathcal O_{Y,f(x)} \rightarrow \mathcal O_{X,x}$$ is a local homomorphism (preimage of the unique maximal ideal remains maximal). My question is, what exactly is the map $f_{x}^{\#}$? I know since $f^{\#}$ is a morphism of sheaves, we have a homomorphism on the stalks $$f_{f(x)}^{\#}: \mathcal O_{Y,f(x)} \rightarrow (f_{\ast} \mathcal O_X)_{f(x)}$$ Are we getting $f_x^{\#}$ by composing $f_{f(x)}^{\#}$ with some homomorphism $(f_{\ast} \mathcal O_X)_{f(x)} \rightarrow \mathcal O_{X,x}$?
Respuestas
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Dado alguna gavilla $\mathcal{O}$ en un espacio de $X$, un mapa continuo $f:X\to Y$, y un punto de $x\in X$, hay un canónica mapa de $(f_*\mathcal{O})_{f(x)}\to\mathcal{O}_x$. De hecho, un elemento de $(f_*\mathcal{O})_{f(x)}$ está representado por una sección de $f_*\mathcal{O}$ más de algún conjunto abierto $V$ contiene $f(x)$, que es sólo una sección de $\mathcal{O}$$f^{-1}(V)$, lo cual determina un elemento de $\mathcal{O}_x$. Es fácil ver que esta correspondencia es compatible con la restricción y por lo tanto induce una bien definida mapa de $(f_*\mathcal{O})_{f(x)}\to\mathcal{O}_x$.
En su caso, teniendo en $\mathcal{O}=\mathcal{O}_X$, esto es el mapa que está buscando.
Hay otra forma de describir el $f^{\#}_x: \mathcal{O}_{Y,f(x)}\rightarrow \mathcal{O}_{X,x}$
Deje $(X, \mathcal{O}_X)$ $(Y,\mathcal {O}_Y)$ ser de dos esquemas.
Un mapa entre las $(X, \mathcal{O}_X)$ $(Y,\mathcal {O}_Y)$ es un par
1)$f:X\rightarrow Y$ y
2)$f^{\#}:\mathcal{O}_Y\rightarrow f_{*}\mathcal{O}_X$
tal que la inducida por el mapa de $f_x^{\#}: \mathcal O_{Y,f(x)} \rightarrow \mathcal O_{X,x}$ es un local homomorphism de los anillos.
Tratemos de escribir la inducida por el mapa-
Nota, $\mathcal{O}_{Y,f(x)}=\varinjlim_{ f(x)\in V}\mathcal{O}_Y(V)$
Ahora por 2) tenemos mapa de $f^{\#} (V):\mathcal{O}_Y(V)\rightarrow f_{*}\mathcal{O}_X(V)=\mathcal {O}_X(f^{-1}(V))$
Ahora, como $f(x)\in V \implies x\in f^{-1}(V)$. Por lo tanto, no existen mapas de $g_x(f^{-1}(V)):\mathcal {O}_X(f^{-1}(V))\rightarrow \mathcal{O}_{X,x}$ (propiedad directa del límite)
Por lo tanto, la composición de estos dos mapas
$\mathcal{O}_Y(V)\xrightarrow{f^{\#} (V)}\mathcal {O}_X(f^{-1}(V))\xrightarrow{g_x(f^{-1}(V))} \mathcal{O}_{X.x}$
Ahora, por el universal propiedad directa del límite de $\mathcal{O}_{Y,f(x)}$ uno obtiene un inducida por el mapa de $\mathcal{O}_{Y,f(x)}\rightarrow \mathcal{O}_{X,x}$ cual es el mapa deseado $f^{\#}_x$ que tenemos que tener en anillo local homomoorphsim
Universal de la Propiedad directa del límite de cum definición: Vamos a $\{M_\lambda, f_{\lambda \mu}\}_{\lambda \in I}$ donde $f_{\lambda \mu}:M_\lambda \rightarrow M_\mu$ todos los $\lambda \leq \mu$ ser dirigidas sistema de anillos. Un anillo de $M$ se dice que es el indicado límite de la orientación del sistema si
Existe mapas de $g_{\lambda}:M_\lambda \rightarrow M$ todos los $\lambda\in I$ tal que $g_\lambda=g_\mu \circ f_{\lambda \mu}$ todos los $\lambda\leq \mu$
Si existe otro anillo de $M'$ con mapas de $g'_{\lambda}:M_\lambda \rightarrow M'$ todos los $\lambda\in I$ tal que $g'_\lambda=g'_\mu \circ f_{\lambda \mu}$ todos los $\lambda\leq \mu$
Entonces existe un único mapa de $M\rightarrow M'$
