Es $\Omega \tilde X \simeq \Omega_0 X$?

Question

Deje $\tilde X\to X$ ser un universal que cubre un espacio $X$, con un punto de base elegido. Es $\Omega \tilde X \simeq \Omega_0 X$? Aquí $\Omega$ indica el bucle espacio, $\Omega_0$ denota el componente conectado de la loop y $\simeq$ denota homotopy de equivalencia.

Me he dado cuenta de lo poco que entiendo acerca de la topología de bucle de espacios, y he encontrado que es difícil tratar con él (como yo realmente no se "consigue" el compacto-abierta topología) y realmente no he encontrado fuentes sobre el tema...

El contexto es algebraicas $K$-teoría, pero no creo que realmente no importa mucho aquí.

Answer 1

Los dos son homeomórficos bajo la proyección $p_*:\Omega\tilde{X}\to\Omega_0 X$ inducida por la cobertura de mapa de $p:\tilde{X}\to X$.

$p_*:\Omega\tilde{X}\to\Omega_0 X$ es bijective. Esto se deduce de la teoría general de cubrir espacios (único camino de elevación, único homotopy de elevación, etc$\dots{}$) y el hecho de un camino entre dos en base de bucles en $\Omega(X)$ (equipado con el compacto abierto de la topología) de la misma como una base de homotopy, por lo que el $\Omega_0(X)$ es precisamente el conjunto de todos los nullhomotopic bucles. Esto es debido a que la unidad de intervalo es localmente compacto y Hausdorff, ver la exponencial de la ley.

$p_*$ es continua. si $[K,O]=\lbrace c:[0,1]\to X\mid c(K)\subset O\rbrace$ es un subbasic abrir barrio de el pacto abierto de la topología en $\mathrm{Map}([0,1],X)$ donde $K\subset [0,1]$ es un subconjunto compacto y $O\subset X$ es abierto, entonces $$(p_*) ^{-1}([K,O])=[K,p^{-1}(O)]$$ es un subbasic abrir barrio de el pacto abierto de la topología en $\mathrm{Map}([0,1],\tilde{X})$ desde $p^{-1}(O)$ está abierto por la continuidad de la $p$. Desde $p_*$ mapas de $\Omega(\tilde{X})\subset\mathrm{Map}([0,1],\tilde{X})$$\Omega_0(X)\subset\mathrm{Map}([0,1],X)$, se deduce que el mapa que usted está considerando es continuo, como una restricción de un mapa continuo. (El mismo argumento muestra que, para cualquiera de los tres espacios de $X,Y_1,Y_2$ y un mapa continuo $f:Y_1\to Y_2$, el mapa de $f_*=f\circ-:\mathrm{Map}(X,Y_1)\to\mathrm{Map}(X,Y_2)$ es continua).

$p_*$ está abierto. Primer aviso de que la colección de abrir barrios $$\bigcap_{k=0}^{n-1}\;[I_{k,n},V_k]$$ forma una base del pacto abierto de la topología en $\Omega(\tilde{X})$ donde $0\leq k<n$ son enteros, $I_{k,n}=\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right]$ e las $V_k\subset \tilde{X}$ están abiertos subconjunto de $\tilde{X}$ que surgen de manera uniforme cubierto de subconjuntos de a $X$ y un local de la trivialización de $p$ (puedo ser más preciso que es demasiado vago). Es (es decir, debe ser) sencillo para probar (utilizando único camino de elevación y el $\epsilon$-lema de Lebesgue) que $$p_*\left(\bigcap_{k=0}^{n-1}\;[I_{k,n},V_k]\right)=\bigcap_{k=0}^{n-1}\;[I_{k,n},p(V_k)]$$ (en realidad, $p_*([I_{k,n},V])=[I_{k,n},p(V)]$ ya puede ser cierto para $V$ anterior). Siendo una base, esto demuestra que $p_*$ es una tarjeta abierta, por lo que es un homeomorphism. Esto podría requerir la $X$ a ser Hausdorff y/o localmente ruta de acceso conectado.

Answer 2

Aquí un buen argumento para al $\Omega X$ es (o tiene la homotopy tipo de) un CW complejo.

Es un hecho general que $\pi_n(\Omega X)=\pi_{n+1}(X)$ y se nota que la $p\colon \bar{X}\to X$ induce un isomorfismo en todos los homotopy grupos excepto posiblemente $\pi_1$$\pi_0$, pero entonces eso significa que la inducida por el mapa de $\Omega p\colon \Omega \bar{X}\to \Omega X$ induce isomorphisms en todos los homotopy grupos excepto posiblemente $\pi_0$. Tenga en cuenta que $\bar{X}$ se conecta simplemente a lo $\Omega \bar{X}$ es la ruta de acceso conectado, por lo tanto también lo es su imagen la que debe por lo tanto se encuentran en $\Omega_0 X$. Así que la inducida por el mapa en $\pi_0$ es un bijection a partir de un conjunto de puntos de un conjunto de puntos cuando el codominio se limita a $\Omega_0 X$.

Por Whitehead del teorema, como $\Omega p$ es un débil equivalencia entre el $\Omega \bar{X}$ $\Omega_0 X$ también debe de ser una homotopy de equivalencia.