Fuente/explicación de esta desigualdad matricial

Question

Aquí está:

$$z^\top M^{-1} M^{-1}z \le \|M^{-1}\| z^\top M^{-1} z.$$

Donde $\pmb M$ es simétrica positiva definida, $z$ es un vector en $\mathbb{R}^p$ (¡no necesariamente normalizado!) y $||\pmb M||$ es la norma del operador inducido, es decir $\sup_{x1}Mx$

Answer 1

SUGERENCIA:

Dejemos que $A= M^{-1}$ , positiva definida. Se quiere demostrar que

$$||Av||^2 = \langle v, A^2 v\rangle \le ||A|| \cdot \langle v, A v \rangle$$ Dejemos que $B$ la raíz de $A$ . La desigualdad es equivalente a $$||B^2 v||^2 \le ||B^2|| \cdot ||Bv||^2$$ o $$||B^2 v|| \le \sqrt{||B^2||} \cdot ||Bv||$$ .

Nótese que para un operador hermitiano $B$ tenemos $||B^2|| = ||B||^2$ ( en general sólo $\le $ ).

Ahora es fácil.